Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

Ladungen & Felder - Oberstufe

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

Angeschlossener Plattenkondensator (Abitur BY 1996 LK A1-1)

Aufgabe

Ein Plattenkondensator mit der Kapazität \({C_0} = 0,13{\rm{nF}}\) wird an ein Netzgerät mit der Gleichspannung \(U = 25{\rm{kV}}\) angeschlossen.

a)Berechnen Sie für einen Plattenabstand von \({d_0} = 3,0{\rm{cm}}\) die Anzahl von Elementarladungen pro \(1,0 \rm{cm^2}\) Plattenfläche, wenn der Kondensator voll aufgeladen ist. (6 BE)

b)Erläutern Sie, wie sich die Feldstärke und wie die elektrische Feldenergie ändern, wenn der Plattenabstand bei angeschlossener Gleichspannung verdoppelt wird. (6 BE)

c)Die Änderung der elektrischen Energie in Teilaufgabe b) kann durch die in die Stromquelle zurückgespeiste Energie \(\Delta {W_{\rm{Netz}}}\) und durch die verrichtete mechanische Arbeit \(\Delta W\) erklärt werden.

Berechnen Sie \(\Delta {W_{\rm{Netz}}}\) und \(\Delta W\) . (9 BE)

Lösung

Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Berechnung der Flächenladungsdichte (Verschiebungsdichte) \(D\): Für die Ladung \(Q\) gilt\[Q = C \cdot U = \frac{{{\varepsilon _0} \cdot A}}{{{d_0}}} \cdot U\quad(1)\]Für die Flächenladungsdichte gilt\[D = \frac{Q}{A}\quad(2)\]Setzt man \((1)\) in \((2)\) ein, so folgt\[D = \frac{{{\varepsilon _0}}}{{{d_0}}} \cdot U \Rightarrow D = \frac{{8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{V}} \cdot {\rm{m}}}}}}{{3,0 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{m}}}} \cdot 25 \cdot {10^3}{\rm{V}} = {\rm{7}},{\rm{4}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 6}}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^2}}} = {\rm{7}},{\rm{4}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 10}}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}}}\]Auf einem Quadratzentimeter sitzt also die Ladung \(Q' = 7,4 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}\). Für die Zahl der Elektronen auf einem Quadratzentimeter gilt dann\[N = \frac{{Q'}}{e} \Rightarrow N = \frac{{7,4 \cdot {{10}^{ - 10}}{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}} = 4,6 \cdot {10^9}\]

b)Bei angeschlossener Spannungsquelle bleibt die Spannung am Kondensator unabhängig vom Plattenabstand konstant. Für die elektrische Feldstärke gilt \(E = \frac{U}{d}\). Also wird bei Verdoppelung des Plattenabstandes (\({d_1} = 2 \cdot {d_0}\)) die Feldstärke halbiert. Für die Änderung der Feldstärke gilt\[\Delta E = {E_1} - {E_0} = \frac{{{E_0}}}{2} - {E_0} = \Delta E =  - \frac{1}{2} \cdot {E_0} =  - \frac{1}{2} \cdot \frac{U}{{{d_0}}} \Rightarrow \Delta E =  - \frac{1}{2} \cdot \frac{{25 \cdot {{10}^3}{\rm{V}}}}{{3,0 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{m}}}} =  - 4,1 \cdot {10^5}\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}\]Für die Änderung der Feldenergie gilt\[\Delta {W_{{\rm{el}}}} = {W_{{\rm{el}}{\rm{,1}}}} - {W_{{\rm{el}}{\rm{,0}}}} = \frac{1}{2} \cdot {C_1} \cdot {U^2} - \frac{1}{2} \cdot {C_0} \cdot {U^2} = \frac{1}{2} \cdot {U^2} \cdot \left( {{C_1} - {C_0}} \right)\quad(3)\]Wegen \(C = {\varepsilon _0} \cdot \frac{A}{d}\) halbiert sich bei Verdoppelung des Plattenabstandes die Kapazität. Es gilt also \({C_1} = \frac{1}{2} \cdot {C_0}\). Somit kann man für \((3)\) schreiben\[\Delta {W_{{\rm{el}}}} = \frac{1}{2} \cdot {U^2} \cdot \left( {{C_1} - {C_0}} \right) = \frac{1}{2} \cdot {U^2} \cdot \left( {\frac{1}{2} \cdot {C_0} - {C_0}} \right)\; =  - \frac{1}{4} \cdot {U^2} \cdot {C_0}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\Delta {W_{{\rm{el}}}} =  - \frac{1}{4} \cdot {\left( {25 \cdot {{10}^3}{\rm{V}}} \right)^2} \cdot 0,13 \cdot {10^{ - 9}}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{V}}}\; =  - 2 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{J}}\]

c)Berechnung des Energiebetrags, welcher der Batterie zugeführt wird:\[\left| {\Delta {W_{{\rm{Netz}}}}} \right| = \left| {\Delta Q} \right| \cdot U = \left| {\Delta C} \right| \cdot {U^2} \Rightarrow \;\left| {\Delta {W_{{\rm{Netz}}}}} \right| = 0,065 \cdot {10^{ - 9}}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{V}}} \cdot {\left( {25 \cdot {{10}^3}{\rm{V}}} \right)^2} = 4,1 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{J}}\]Da die der Batterie zugeführte Arbeit dem "System Kondensator" entzogen wird, muss die Energie \(\Delta {W_{\rm{Netz}}}\) in der Energiebilanz negativ gezählt werden, d.h. \(\Delta {W_{\rm{Netz}}} = - 4,1 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{J}} \). Für das "System Kondensator" gilt die folgende Energiebilanz:\[\Delta {W_{{\rm{el}}}} = \Delta W + \Delta {W_{{\rm{Netz}}}} \Leftrightarrow \Delta W = \Delta {W_{{\rm{el}}}} - \Delta {W_{{\rm{Netz}}}} \Rightarrow \Delta W =  - 2,0 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{J}} - ( - 4,1 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{J}}) = 2,1 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{J}}\]Der positive Wert für \(\Delta {W}\) bedeutet, dass dem "System Kondensator" mechanische Energie zugeführt wird.