Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a) Berechnung der Flächenladungsdichte (Verschiebungsdichte) \(D\): Für die Ladung \(Q\) gilt\[Q = C \cdot U = \frac{{{\varepsilon _0} \cdot A}}{{{d_0}}} \cdot U\quad(1)\]Für die Flächenladungsdichte gilt\[D = \frac{Q}{A}\quad(2)\]Setzt man \((1)\) in \((2)\) ein, so folgt\[D = \frac{{{\varepsilon _0}}}{{{d_0}}} \cdot U \Rightarrow D = \frac{{8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{V}} \cdot {\rm{m}}}}}}{{3,0 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{m}}}} \cdot 25 \cdot {10^3}{\rm{V}} = {\rm{7}},{\rm{4}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 6}}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^2}}} = {\rm{7}},{\rm{4}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 10}}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}}}\]Auf einem Quadratzentimeter sitzt also die Ladung \(Q' = 7,4 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}\). Für die Zahl der Elektronen auf einem Quadratzentimeter gilt dann\[N = \frac{{Q'}}{e} \Rightarrow N = \frac{{7,4 \cdot {{10}^{ - 10}}{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}} = 4,6 \cdot {10^9}\]
b) Bei angeschlossener Spannungsquelle bleibt die Spannung am Kondensator unabhängig vom Plattenabstand konstant. Für die elektrische Feldstärke gilt \(E = \frac{U}{d}\). Also wird bei Verdoppelung des Plattenabstandes (\({d_1} = 2 \cdot {d_0}\)) die Feldstärke halbiert. Für die Änderung der Feldstärke gilt\[\Delta E = {E_1} - {E_0} = \frac{{{E_0}}}{2} - {E_0} = \Delta E = - \frac{1}{2} \cdot {E_0} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{U}{{{d_0}}} \Rightarrow \Delta E = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{25 \cdot {{10}^3}{\rm{V}}}}{{3,0 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{m}}}} = - 4,1 \cdot {10^5}\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}\]Für die Änderung der Feldenergie gilt\[\Delta {W_{{\rm{el}}}} = {W_{{\rm{el}}{\rm{,1}}}} - {W_{{\rm{el}}{\rm{,0}}}} = \frac{1}{2} \cdot {C_1} \cdot {U^2} - \frac{1}{2} \cdot {C_0} \cdot {U^2} = \frac{1}{2} \cdot {U^2} \cdot \left( {{C_1} - {C_0}} \right)\quad(3)\]Wegen \(C = {\varepsilon _0} \cdot \frac{A}{d}\) halbiert sich bei Verdoppelung des Plattenabstandes die Kapazität. Es gilt also \({C_1} = \frac{1}{2} \cdot {C_0}\). Somit kann man für \((3)\) schreiben\[\Delta {W_{{\rm{el}}}} = \frac{1}{2} \cdot {U^2} \cdot \left( {{C_1} - {C_0}} \right) = \frac{1}{2} \cdot {U^2} \cdot \left( {\frac{1}{2} \cdot {C_0} - {C_0}} \right)\; = - \frac{1}{4} \cdot {U^2} \cdot {C_0}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\Delta {W_{{\rm{el}}}} = - \frac{1}{4} \cdot {\left( {25 \cdot {{10}^3}{\rm{V}}} \right)^2} \cdot 0,13 \cdot {10^{ - 9}}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{V}}}\; = - 2 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{J}}\]
c) Berechnung des Energiebetrags, welcher der Batterie zugeführt wird:\[\left| {\Delta {W_{{\rm{Netz}}}}} \right| = \left| {\Delta Q} \right| \cdot U = \left| {\Delta C} \right| \cdot {U^2} \Rightarrow \;\left| {\Delta {W_{{\rm{Netz}}}}} \right| = 0,065 \cdot {10^{ - 9}}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{V}}} \cdot {\left( {25 \cdot {{10}^3}{\rm{V}}} \right)^2} = 4,1 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{J}}\]Da die der Batterie zugeführte Arbeit dem "System Kondensator" entzogen wird, muss die Energie \(\Delta {W_{\rm{Netz}}}\) in der Energiebilanz negativ gezählt werden, d.h. \(\Delta {W_{\rm{Netz}}} = - 4,1 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{J}} \). Für das "System Kondensator" gilt die folgende Energiebilanz:\[\Delta {W_{{\rm{el}}}} = \Delta W + \Delta {W_{{\rm{Netz}}}} \Leftrightarrow \Delta W = \Delta {W_{{\rm{el}}}} - \Delta {W_{{\rm{Netz}}}} \Rightarrow \Delta W = - 2,0 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{J}} - ( - 4,1 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{J}}) = 2,1 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{J}}\]Der positive Wert für \(\Delta {W}\) bedeutet, dass dem "System Kondensator" mechanische Energie zugeführt wird.
