Zwei gleich geladene, symmetrisch angeordnete Metallplatten, die einen Winkel von \(60^\circ\) einschließen und elektrisch isoliert sind, halten ein punktförmiges, positiv geladenes Metallkügelchen im Punkt \(\rm{K}\) (siehe Abb. 1) in der Schwebe.
Gehe zunächst vereinfachend davon aus, dass die Ladungen auf beiden Platten gleichmäßig verteilt sind.
a)
Platte 1 übt eine elektrische Kraft von \(F_1 = 15 \,\rm{mN}\) auf das Metallkügelchen aus.
Trage alle weiteren wirkenden Kräfte maßstabsgetreu in Abb. 1 ein.
Begründe damit, dass die von den beiden Platten auf das Kügelchen wirkende Gesamtkraft von \( F_{\rm{el}} = F_1 = 15\,\rm{mN}\) beträgt. (5 BE)
b)
Berechne die Masse des Kügelchens. (3 BE)
c)
Das Kügelchen trägt die Ladung \(Q = 1{,}3 \,\rm{mC}\).
Bestimme die elektrische Feldstärke des Feldes, dass durch die beiden Platten im Punkt \(\rm{K}\) hervorgerufen wird. (2 BE)
Berücksichtige nun im Folgenden, dass die Ladung auf Platte 2 einen Einfluss auf die Ladungsverteilung auf Platte 1 hat und umgekehrt. Der Einfluss der Ladung des Kügelchens soll weiterhin vernachlässigt werden.
d)
Beschreibe und begründe die Ladungsverteilung, die sich auf Platte 1 ergibt.
Skizziere in einer neuen Skizze qualitativ das Feldlinienbild des sich einstellenden elektrischen Feldes im Bereich zwischen den Platten 1 und 2. (6 BE)
e)
Im Vergleich zum idealisierten Fall in Teilaufgabe a) ergibt sich durch die veränderte Ladungsverteilung eine andere Richtung der Kraft durch Platte 1 auf das Kügelchen.
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Darstellung mit eingezeichnetem Kräfteparallelogramm
1. \(\vec F_2\): Aus Symmetriegründen muss \(\vec F_2\) "nach links oben" mit dem gleichen Betrag/Länge wie \(\vec F_1\).
2. \(\vec F_{\rm{el}}\): Resultierende aus \(\vec F_1\) und \(\vec F_2\), möglicherweise Parallelogramm.
3. \(\vec F_{\rm{G}}\): Da Schwebezustand Kompensation von \(\vec F_{\rm{el}}\) und \(\vec F_{\rm{G}}\), also \(\vec F_{\rm{G}}\) genau so lang wie \(\vec F_{\rm{el}}\) nach unten.
Weiter bilden \(\vec F_1\), \(\vec F_2\) und \(\vec F_{\rm{el}}\) ein gleichseitiges Dreieck, in dem alle drei Seiten gleich lang und deshalb alle drei Kräfte gleich groß sind. Weshalb für den Betrag \(F_{\rm{el}}\) gilt\[F_{\rm{el}} = F_1 = F_2 = 15 \,\rm{mN} = 1{,}5 \cdot 10^{-3} \,\rm{N}\]
b)
Da sich das geladenen Metallkügelchen in der Schwebe befindet, sich die auf das Metallkügelchen wirkende elektrische Kraft \(\vec F_{\rm{el}}\) und die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet. Es gilt \[ F_G = F_{\rm{el}}\]\[m \cdot g =F_{\rm{el}}\]\[m= \frac{F_{\rm{el}}}{g}\]Mit den Werten \(F_{\rm{el}} = 15 \,\rm{mN} = 15 \cdot 10^{-3} \,\rm{N}\) und \(g = 9{,}81 \,\rm{\frac{m}{s}}\) ergibt sich \[m = \frac{15 \cdot 10^{-3} \,\rm{N} }{ 9{,}81 \,\rm{\frac{m}{s}}} = 1{,}5 \cdot 10^{-3} \,\rm{kg} = 1{,}5 \,\rm{g}\]
c)
Mit der elektrischen Gesamtkraft von \(F_{\rm{el}}=15 \cdot 10^{-3} \,\rm{N}\) ergibt sich für die Feldstärke im Punkt \(\rm{K}\)\[E = \frac{F_{\rm{el}}}{Q}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[E = \frac{15 \cdot 10^{-3} \,\rm{N}}{1{,}3 \cdot 10^{-3}\,\rm{C}} = 12 \,\rm{\frac{V}{m}}\]
d)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Qualitative Darstellung des elektrischen Feldes
Da die Ladung der Platten die positiv geladene Kugel in der Schwebe hält, sind die Platten positiv geladen. Die positive Ladung von Platte 2 übt auf die Elektronen in Platte 1 eine Kraft längs der Platte aus und verschiebt diese nach unten. Dies geschieht so lange, bis die abstoßende Kraft zwischen den Elektronen die anziehende Kraft durch Platte 2 ausgleicht. Im unteren Bereich von Platte 1 ist daher die positive Ladung geringer als im oberen Bereich. Dies zeigt sich auch im Feldlinienbild (siehe Abb. 3): Im oberen Bereich der Platte ist die Feldliniendichte größer als im unteren.
Gleiches gilt für den Einfluss von Platte 1 auf Platte 2.
e)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 4 Aufspaltung in Kraftkomponenten
Für die Erklärung betrachten wir die obere und untere Hälfte der Platte getrennt. Im idealisierten Fall tragen beide Hälften die gleiche Ladung und bewirken die gleich große Kraft auf die Kugel. Zusammen steht die Kraft daher senkrecht zur Plattenoberfläche.
Nun ist jedoch die positive Ladung nicht mehr gleichmäßig, sondern im unteren Bereich geringer als im oberen Bereich. Daher ist die Kraft, die von der oberen Hälfte auf die Kugel ausgeübt wird, größer ist als die Kraft, die von der unteren Hälfte ausgeübt wird (vgl. Abb. 4) Die resultierende Kraft dieser beiden Kräfte ist nicht die die Winkelhalbierend zwischen ihnen und steht damit nicht senkrecht auf der Platte. Die resultierende Kraft zeigt mehr in die Richtung der größeren Kraft, die von der oberen Hälfte der Platte verursacht wird.
