Atomphysik

Klassische Atommodelle

Klassische Atommodelle

  • Welche Vorstellungen hatten die alten Griechen von Atomen?
  • Was versteht man unter dem „Plumpudding-Modell“?
  • Welche Vorhersagen macht das BOHRsche Atommodell?
  • Mit welchen Atommodellen arbeitet die moderne Physik?

Myonen-Atom (Abitur BY 1978 LK A4-2)

Aufgabe

Negative Myonen, wie sie in der Höhenstrahlung entstehen oder auch künstlich erzeugt werden können, sind Elementarteilchen, welche die Ruhemasse \({m_{\rm{\mu }}} = 207 \cdot {m_{\rm{e}}}\) besitzen und eine Elementarladung tragen. Werden sie abgebremst, so können sie bei sehr geringer kinetischer Energie von Atomkernen eingefangen werden.

a)Berechnen Sie allgemein den Radius der \(n\)-ten Quantenbahn des Myons, wenn der einfangende Kern die Kernladungszahl \(Z\) hat (der Einfluss der Hüllenelektronen und die Kernmitbewegung sollen unberücksichtigt bleiben).

b)Für die Gesamtenergie des Myons auf der \(n\)-ten Quantenbahn gilt\[E_n = -\frac{Z^2 \cdot e^4 \cdot m_{\mu}}{8 \cdot \epsilon_0^2  \cdot h^2} \cdot \frac{1}{n^2}\]Vereinfachen Sie diesen Term, indem Sie die Ionisationsenergie \(13,6{\rm{eV}}\) des Wasserstoffatoms einführen.

c)Berechnen und zeichnen Sie die drei niedrigsten Energieniveaus für das Myon, wenn es von einem Berylliumkern eingefangen wurde. (Für die Zeichnung: \(10{\rm{keV}} \buildrel \wedge \over = 1{\rm{cm}}\)).

d)Ein Myon, dessen kinetische Energie vernachlässigt werden kann, wird von einem Berylliumkern eingefangen.

Untersuchen Sie, welche Photonenenergie maximal zu erwarten ist.

Untersuchen Sie, welche Photonenenergie beim Übergang von \(n = 2\) auf \(n = 1\) zu erwarten ist. Geben Sie an, in welchem Bereich die elektromagnetische Strahlung liegt.

Lösung

Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Nach dem BOHRschen Modell des H-Atoms wirkt auf der \(n\)-ten Quantenbahn die Coulombkraft \(F_{\rm{C}}\) als Zentripetalkraft \(F_{{\rm{ZP}}}\), d.h.\[{F_{\rm{C}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Z \cdot e^2}}}{{{r_n}^2}} = {{m_{\rm{\mu }}}} \cdot \frac{{{v_n}^2}}{{{r_n}}} \quad(1)\]Weiter gilt nach dem BOHRschen Postulat\[2 \cdot \pi  \cdot {r_n} \cdot {m_{\rm{\mu }}} \cdot {v_n} = n \cdot h \quad(2)\]Kombiniert man \((1)\) und \((2)\), so erhält man\[\frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Z \cdot e^2}}}{{{r_n}^2}} = \frac{{{n^2} \cdot {h^2}}}{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {m_{\rm{\mu }}} \cdot {r_n}^3}} \Leftrightarrow {r_n} = \frac{{{h^2} \cdot {\varepsilon _0}}}{{\pi  \cdot Z \cdot {e^2} \cdot {m_{\rm{\mu }}}}} \cdot {n^2} \]

b)Aus der Formelsammlung kann man für die Gesamtenergie des Elektrons im \(n\)-ten Quantenzustand des Wasserstoffatoms entnehmen\[E_{\rm{n,e}} =  - \frac{{{R_\infty } \cdot h \cdot c}}{{{n^2}}}\]mit\[{R_\infty } = \frac{{{e^4} \cdot {m_e}}}{{8 \cdot {\varepsilon _0}^2 \cdot {h^3} \cdot c}}\]Hieraus folgt\[E_{\rm{n,e}} = -\frac{{{e^4} \cdot {m_e}}}{{8 \cdot {\varepsilon _0}^2 \cdot {h^2}}} \cdot \frac{1}{{{n^2}}} = -13,6{\rm{eV}} \cdot \frac{1}{{{n^2}}}\]Ersetzt man nun \({m_{\rm{e}}}\) durch \({m_{\rm{\mu }}}\) und \({{e^2}}\) durch \(Z \cdot {e^2}\) und somit \({e^4}\) durch \({Z^2} \cdot {e^4}\), so geht die obige Energieformel für das Elektron in die Energieformel für das Myon in einem Kern mit der Ladung \(Z \cdot e\) über in die Form\[{E_{{\rm{n,\mu }}}} = -\frac{{{Z^2} \cdot {e^4} \cdot {m_{\rm{\mu }}}}}{{8 \cdot {\varepsilon _0}^2 \cdot {h^2}}} \cdot \frac{1}{{{n^2}}} = -13,6{\rm{eV}} \cdot 207 \cdot \frac{{{Z^2}}}{{{n^2}}}\]

c)Für Beryllium gilt \(Z = 4\). Somit kann man die in Teilaufgabe b) entwickelte Formel wie folgt schreiben\[{E_{{\rm{n,\mu}}}} = -13,6{\rm{eV}} \cdot 207 \cdot \frac{{{4^2}}}{{{n^2}}} = -4,50 \cdot {10^4}{\rm{eV}} \cdot \frac{1}{{{n^2}}} = -45,0{\rm{keV}} \cdot \frac{1}{{{n^2}}}\]und damit\[{E_{{\rm{1}}{\rm{,\mu }}}} = -45,0{\rm{keV}} \cdot \frac{1}{{{1^2}}} = -45,0{\rm{keV}}\]\[{E_{{\rm{2}}{\rm{,\mu }}}} = -45,0{\rm{keV}} \cdot \frac{1}{{{2^2}}} = -11,3{\rm{keV}}\]\[{E_{{\rm{3}}{\rm{,\mu }}}} = -45,0{\rm{keV}} \cdot \frac{1}{{{3^2}}} = -5,0{\rm{keV}}\]

d)Beim Einfang des Myons ist eine maximale Photonenergie von \(45,0{\rm{keV}}\) zu erwarten, da die Gesamtenergie des ungebundenen Myons Null war: \[{E_{{\rm{Ph}}}} = \Delta E \Leftrightarrow {E_{{\rm{Ph}}}} = 0{\rm{keV}} - \left( {-45,0{\rm{keV}}} \right) = 45,0{\rm{keV}}\]

Es gilt wieder \[{E_{{\rm{Ph}}}} = \Delta E \Leftrightarrow {E_{{\rm{Ph}}}} = {E_2} - {E_1} = -11,3{\rm{keV}} - \left( {-45,0{\rm{keV}}} \right) = 33,7{\rm{keV}}\] Diese Strahlung liegt im Röntgenbereich.