Beispiel
Der Preis \(P\) von Mehl ist proportional zur Zahl \(N\) der \(500\,\rm{g}\)-Packungen, die du einkaufst (vgl. Abb. 1):
Kostet \(1\) Packung Mehl \(0{,}80\,\)€, dann kosten \(2\) Packungen Mehl \(1{,}60\,\)€, \(3\) Packungen \(2{,}40\)€ usw. Mathematisch ausgedrückt gilt:\[P \sim N \quad (1)\]
Der Preis \(P\) einer Packung Mehl ist aber auch (hier zur Vereinfachung angenommen) proportional zur Masse \(m\) der jeweiligen Packung (vgl. Abb. 2): Eine \(500\,\rm{g}\)-Packung kostet \(0{,}80\,\)€, eine \(1000\,\rm{g}\)-Packung \(1{,}60\,\)€, eine \(2000\,\rm{g}\)-Packung \(3{,}20\,\)€ usw. Mathematisch ausgedrückt gilt:\[P \sim m \quad (2)\]
Die beiden Proportionalitäten \((1)\) und \((2)\) zwischen Preis und Packungsanzahl bzw. zwischen Preis und Masse kannst du nun zu einer einzigen Proportionalität zusammenfassen. Mathematisch ausgedrückt gilt: \[P \sim N \cdot m\]Kostet also eine \(500\,\rm{g}\)-Packung Mehl \(0{,}80\, \)€, so besagt diese Proportionalität, dass \(5\) Packungen Mehl mit jeweils \(2000\,\rm{g}=4 \cdot 500\,\rm{g}\) Inhalt, dann den \(5 \cdot 4 = 20\)-fachen Preis haben. \(5\) Packungen Mehl mit jeweils \(2000\,\rm{g}\) kosten also \(20 \cdot 0{,}80\,\)€ \( = 16{,}00\, \)€.
Proportionalitäten bei der gleichförmigen Bewegung
Auch in der Physik kommt die Proportionalität einer Größe zu zwei anderen Größen häufig vor. Bei einer gleichförmigen Bewegung ist z.B. die zurückgelegte Strecke \(s\) proportional zur verstrichenen Zeit \(t\) (bei fester Geschwindigkeit). Bei fester Geschwindigkeit legt ein Körper In doppelt so viel Zeit also die doppelte Stecke zurück usw. Es gilt:\[s\sim t\]Weiter ist die zurückgelegte Strecke \(s\) auch proportional zur Geschwindigkeit \(v\) (bei fester Zeit). In einer festen Zeitspanne legt ein Körper bei doppelter Geschwindigkeit also die doppelte Strecke zurück usw. Es gilt: \[s\sim v\]Zusammengefasst gilt somit:\[s\sim v\cdot t\]
Allgemeine Formulierung
Ist eine Größe \(y\) proportional zu einer anderen Größe \(a\), dann kannst du schreiben\[y \sim a \quad (1)\]Nun ist die Größe \(y\) auch zu einer weiteren Größe - wir nennen sie \(b\) - proportional. Du kann analog schreiben\[y \sim b \quad (2)\]Die Mathematik kann nun nachweisen, dass die beiden Proportionalitäten \((1)\) und \((2)\) zu einiger einzigen Proportionalität zusammengefasst werden können. Es gilt nämlich\[\left. \begin{array}{l}y \sim a\;{\rm{falls}}\;b\;{\rm{konstant}}\\y \sim b\;{\rm{falls}}\;a\;{\rm{konstant}}\end{array} \right\} \Rightarrow y \sim a \cdot b\]
Analog bei umgekehrter Proportionalität
Gleiches gilt auch für das Zusammenfassen von einer direkten Proportionalität \(y\sim a\) und einer umgekehrten Proportionalität \(y\sim\frac{1}{b}\). Es gilt:\[\left. \begin{array}{l}y \sim a\;{\rm{falls}}\;b\;{\rm{konstant}}\\y \sim \frac{1}{b}\;{\rm{falls}}\;a\;{\rm{konstant}}\end{array} \right\} \Rightarrow y \sim \frac{a}{b}\]
Verständnisaufgabe
Aufgabe
Die Größe \(R\) ist proportional zur Größe \(U\) und die Größe \(I\) ist ebenfalls proportional zur Größe \(U\).
Wähle die richtige Aussage aus.
Wieder sind die Größe \(R\) und \(I\) proportional zur Größe \(U\).
Wähle alle richtigen Aussagen aus.