Reibung und Fortbewegung

Mechanik

Reibung und Fortbewegung

  • Warum muss man bein Fahrradfahren eigentlich immer treten?
  • Sollte man die Reibung nicht einfach abschaffen?
  • Was würden wir ohne die Erfindung des Rads machen?

Wenn wir eine Kiste mit konstanter Geschwindigkeit über den Boden schieben wollen, so müssen wir dafür eine Kraft aufwenden. Dabei besagt, doch der Trägheitssatz (1. Gesetz von NEWTON), dass man für den Zustand der gleichförmigen Bewegung überhaupt keine Kraft braucht. Irrt sich hier Herr NEWTON? Natürlich nicht, denn beim Schieben der Kiste über den Boden tritt eine Reibungskraft auf, und diese muss durch die Schubkraft "überwunden" werden. Physikalisch sauberer ausgedrückt: damit sich die Kiste mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, braucht man eine Schubkraft, welche mit der Reibungskraft im Gleichgewicht ist. Oder noch besser: die Schubkraft wird benötigt, damit die Reibungskraft die Kiste nicht zum Stillstand bringt.

Reibung tritt im täglichen Leben fast überall auf. Manchmal ist sie erwünscht, manchmal will man sie vermeiden.

Beim Schieben der Kiste mit konstanter Geschwindigkeit tritt eine besondere Form der Reibung, die Gleitreibung auf. Bevor der Mann die Kiste jedoch in Bewegung gesetzt hat, musste er sich noch etwas mehr anstrengen, es trat eine andere Form der Reibung auf, die Haftreibung. Müsste die Kiste über längere Strecken geschoben werden, so würde es sich lohnen Rollen unter die Kiste zu legen, denn dann ist der Kraftaufwand deutlich geringer. Die hierbei auftretende Reibung wird als Rollreibung bezeichnet.

Die folgende Animation zeigt die Vorgehensweise zur Untersuchung der verschiedenen Reibungsarten und deutete die Versuchsergebnisse an:

Genauere Informationen zu diesen drei Reibungsarten findest du in den folgenden Abschnitten.

Was dich erwartet

In diesem Abschnitt erklären wir dir die sogenannte Haftreibung oder auch Haftreibungskraft \(\vec F_{\rm{HR}}\). Du erfährst

  • wann Haftreibung auftritt und was man unter Haftreibung versteht

  • in welche Richtung die Haftreibungskraft stets wirkt

  • von welchen Größen der Betrag der maximalen Haftreibungskraft abhängt und schließlich

  • wie der Betrag der maximalen Haftreibungskraft von diesen Größen abhängt.

In der folgenden Animation siehst du einen Klotz, der auf einer Unterlage ruht. Es könnte sich z.B. um eine Holzkiste auf einem Steinboden oder einen Autoreifen auf einer Straße handeln. Du kannst links oben die Materialien der Oberflächen von Klotz und Unterlage auswählen. Dabei kommt es nicht darauf an, welcher Körper welche Oberfläche besitzt.

Das schwarze Kreuz in der Mitte des Klotzes markiert seinen Schwerpunkt. Dort greifen zwei Kräfte an: Zum einen siehst du die sogenannte Normalkraft \(\vec F_{\rm{N}}\). Als Normalkraft bezeichnen wir die Kraft, mit der der Klotz "normal" (lateinisch norma „Maß“, im Sinne des rechten Winkels), d.h. senkrecht auf die Unterlage drückt. Die Normalkraft ist meistens die Gewichtskraft des Gegenstandes, der auf der Unterlage ruht, z.B. die Gewichtskraft der Holzkiste oder die des Autos. Den Betrag \(F_{\rm{N}}\) der Normalkraft kannst du mit dem Schieberegler links in bestimmten Grenzen verändern.

Zum anderen siehst du die Kraft \(\vec F_{\rm{U}}\). Dies ist die Kraft, mit der die Unterlage als Kompensationskraft zur Normalkraft auf den Klotz wirkt. Die Kraft \(\vec F_{\rm{U}}\) ist entgegengesetzt zur Normalkraft gerichtet und hat den gleichen Betrag wie die Normalkraft, so dass sich Normalkraft und Kraft der Unterlage aufheben und der Klotz auf der Unterlage ruht.

Wenn du mit dem zweiten Schieberegler links den Betrag \(F_{\rm{Z}}\) der Zugkraft  veränderst, so siehst du zwei weitere Kräfte, die am Schwerpunkt des Klotzes angreifen: Zum einen eben diese Zugkraft \(\vec F_{\rm{Z}}\), mit der nach rechts an dem Klotz gezogen wird, um ihn in Bewegung zu versetzen.

Gleichzeitig erscheint die sogenannte Haftreibungskraft \(\vec F_{\rm{HR}}\), die entgegen der Zugkraft wirkt und den Klotz daran hindert, sich in Bewegung zu setzen. Der Betrag \(F_{\rm{HR}}\) der Haftreibungskraft wird links angezeigt.

Materialien der Oberflächen
FN =
FZ =
FHR =
zeige Auswertung
HTML5-Canvas nicht unterstützt!

In der Animation kannst du erkennen, dass der Betrag \(F_{\rm{HR}}\) der Haftreibungskraft bis zu einem bestimmten Wert genau so groß wie der Betrag \(F_{\rm{Z}}\) der Zugkraft ist. So lange dieser Wert nicht erreicht ist, kompensieren sich Haftreibungskraft \(\vec F_{\rm{HR}}\) und Zugkraft \(\vec F_{\rm{Z}}\) und der Klotz bleibt in Ruhe.

Wird dieser Wert, der sogenannte Betrag \(F_{\rm{HR,max}}\) der maximalen Haftreibungskraft überschritten, setzt sich der Klotz in Bewegung. Ab diesem Moment sprechen wir nicht mehr von Haft-, sondern von Gleitreibung und lassen deshalb die Zugkraft \(\vec F_{\rm{Z}}\) und die Haftreibungskraft \(\vec F_{\rm{HR}}\) aus der Animation verschwinden.

Weiter kannst du erkennen, dass sich der Betrag \(F_{\rm{HR,max}}\) der maximalen Haftreibungskraft ändert, wenn du den Betrag \(F_{\rm{N}}\) der Normalkraft oder die Materialien der Oberflächen änderst. Wenn du auf die kleine Checkbox links klickst, wird dir die Auswertung und das Ergebnis der Experimente zur Haftreibung angezeigt, die du unter dem Reiter "Versuche" findest.

Die Animation und die Experimente zeigen dir folgende Sachverhalte:

Eigenschaften der Haftreibungskraft und Definition des Haftreibungskoeffizienten

Wenn

  • ein Körper durch eine Kraft, die sogenannte Normalkraft \(\vec F_{\rm{N}}\) gegen einen anderen Körper gedrückt wird und

  • der eine Körper relativ zu dem anderen Körper ruht

  • auf den Körper eine Zugkraft \(\vec F_{\rm{Z}}\) wirkt.

dann wirkt auf diesen Körper eine Kraft, die sogenannte Haftreibungskraft \(\vec F_{\rm{HR}}\). Es gilt:

  • Die Haftreibungskraft \(\vec F_{\rm{HR}}\) wirkt immer entgegen der Zugkraft \(\vec F_{\rm{Z}}\).

  • Der Betrag \(F_{\rm{HR}}\) der Haftreibungskraft ist bis zu einem bestimmten Wert genau so groß wie der Betrag \(F_{\rm{Z}}\) der Zugkraft.

  • Wird dieser Wert, der sogenannte Betrag \(F_{\rm{HR,max}}\) der maximalen Haftreibungskraft überschritten, setzt sich der Körper in Bewegung und wir sprechen nicht mehr von Haftreibung.

  • Der Betrag \(F_{\rm{HR,max}}\) der maximalen Haftreibungskraft verändert sich in Abhängigkeit vom Betrag \(F_{\rm{N}}\) der Normalkraft und den Materialien der Oberflächen. Der Betrag der maximalen Haftreibungskraft ist aber - was in der Animation nicht dargestellt wird - unabhängig von der Größe der Kontaktfläche der beiden Körper.

Die Auswertung der entsprechender Experimente ergibt:

  • Der Betrag \(F_{\rm{HR,max}}\) der maximalen Haftreibungskraft ist proportional zum Betrag \(F_{\rm{N}}\) der Normalkraft.

  • Die Proportionalitätskonstante, die man mit dem Buchstaben \({\mu _{{\rm{HR}}}}\) (sprich "mü Haftreibung") bezeichnet und Haftreibungskoeffizient oder Haftreibungszahl nennt, hängt von den Materialien der Oberflächen der beiden Körper ab.

Kurz

\[\color{Red}{F_{\rm{HR,max}}} = \mu _{\rm{HR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}} \quad(1)\]

mit dem von den Materialien der Oberflächen abhängigen Haftreibungskoeffizienten \({\mu _{{\rm{HR}}}}\). Der Haftreibungskoeffizient hat keine Maßeinheit, man sagt er ist "dimensionslos". Die Haftreibungskoeffizienten für verschiedene Oberflächenmaterialien findest du z.B. bei Wikipedia.

Hinweise

  • In den meisten Aufgaben im Physikunterricht ist die Normalkraft die Gewichtskraft (oder bei schiefen Ebenen ein Anteil der Gewichtskraft) des Körpers, der sich über den Untergrund bewegt. Im Alltag kann die Normalkraft aber viel größer sein, wenn z.B. der Körper in einer Maschine stark auf die Unterlage gepresst wird.

  • Oftmals spricht man in Aufgaben einfach von "der Haftreibungskraft" oder "der Haftreibung", meint damit aber meistens die maximale Haftreibungskraft.

  • Wie bereits gesagt ist der Betrag der Haftreibungskraft unabhängig von der Größe der Kontaktfläche von Körper und Untergrund. Dies ist für Schülerinnen und Schüler oft erstaunlich, hängt aber mit den mikroskopischen Ursachen für die Haftreibungskraft zusammen.

  • Der Begriff "Haftreibung" ist eigentlich schlecht gewählt, da die beiden Körper sich überhaupt nicht zueinander bewegen und deshalb nach unserem Alltagsverständnis auch nicht aneinander "reiben". Besser wäre die Benutzung des Begriffs "Haftwiderstand" oder "Haftkraft"; da die meisten Physikbücher aber den Begriff "Haftreibung" nutzen, schließen wir uns hier der allgemeinen Sprachregelung an.

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur Gleitreibung zu lösen musst du häufig die Gleichung \((1)\) nach einer unbekannten Größe auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Anleitung.

Die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{HR,max}}} = \mu _{\rm{HR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}}\]ist bereits nach \(\color{Red}{F_{\rm{HR,max}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{HR,max}}} = \mu _{\rm{HR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}}\]nach \(\mu _{\rm{HR}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Im Moment steht \(\mu _{\rm{HR}}\) noch auf der rechten Seite der Gleichung, es soll aber auf die linke Seite. Vertausche deshalb zuerst die beiden Seiten der Gleichung. Du erhältst
\[\mu _{\rm{HR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}} = \color{Red}{F_{\rm{HR,max}}}\]
Nun wird \(\mu _{\rm{HR}}\) aber noch mit \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\) multipliziert, es soll aber alleine stehen. Dividiere deshalb beide Seiten der Gleichung durch \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\) im Nenner steht – du wirst gleich sehen, warum dies geschickt ist. Du erhältst
\[\frac{{\mu _{\rm{HR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}}  }}{\color{Blue}{F_{\rm{N}}}} = \frac{\color{Red}{F_{\rm{HR,max}}}}{\color{Blue}{F_{\rm{N}}}}\]
Kürze nun den Bruch auf der linken Seite durch \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\). Du erhältst\[\mu _{\rm{HR}} = \frac{\color{Red}{F_{\rm{HR,max}}}}{\color{Blue}{F_{\rm{N}}}}\]Damit hast du dein Ziel erreicht: Die Gleichung ist nach \(\mu _{\rm{HR}}\) aufgelöst.
Um die die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{HR,max}}} = \mu _{\rm{HR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}}\]nach \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Im Moment steht \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\) noch auf der rechten Seite der Gleichung, es soll aber auf die linke Seite. Vertausche deshalb zuerst die beiden Seiten der Gleichung. Du erhältst
\[\mu _{\rm{HR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}} = \color{Red}{F_{\rm{HR,max}}}\]
Nun wird \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\) aber noch mit \(\mu _{\rm{HR}}\) multipliziert, es soll aber alleine stehen. Dividiere deshalb beide Seiten der Gleichung durch \(\mu _{\rm{HR}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \(\mu _{\rm{HR}}\) im Nenner steht – du wirst gleich sehen, warum dies geschickt ist. Du erhältst
\[\frac{{\mu _{\rm{HR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}} }}{\mu _{\rm{HR}}} = \frac{\color{Red}{F_{\rm{HR,max}}}}{\mu _{\rm{HR}}}\]
Kürze nun den Bruch auf der linken Seite durch \(\mu _{\rm{HR}}\). Du erhältst\[\color{Blue}{F_{\rm{N}}} = \frac{\color{Red}{F_{\rm{HR,max}}}}{\mu _{\rm{HR}}}\]Damit hast du dein Ziel erreicht: Die Gleichung ist nach \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\) aufgelöst.

Was dich erwartet

In diesem Abschnitt erklären wir dir die sogenannte Gleitreibung oder auch Gleitreibungskraft \(\vec F_{\rm{GR}}\). Du erfährst

  • wann Gleitreibung auftritt und was man unter Gleitreibung versteht

  • in welche Richtung die Gleitreibungskraft stets wirkt

  • von welchen Größen der Betrag der Gleitreibungskraft abhängt und schließlich

  • wie der Betrag der Gleitreibungskraft von diesen Größen abhängt.

In der folgenden Animation siehst du einen Klotz, der auf einer Unterlage ruht. Es könnte sich z.B. um eine Holzkiste auf einem Steinboden oder einen blockierenden Autoreifen auf einer Straße handeln. Du kannst links oben die Materialien der Oberflächen von Klotz und Unterlage auswählen. Dabei kommt es nicht darauf an, welcher Körper welche Oberfläche besitzt.

Das schwarze Kreuz in der Mitte des Klotzes markiert seinen Schwerpunkt. Dort greifen zwei Kräfte an: Zum einen siehst du die sogenannte Normalkraft \(\vec F_{\rm{N}}\). Als Normalkraft bezeichnen wir die Kraft, mit der der Klotz "normal" (lateinisch norma „Maß“, im Sinne des rechten Winkels), d.h. senkrecht auf die Unterlage drückt. Die Normalkraft ist meistens die Gewichtskraft des Gegenstandes, der auf der Unterlage gleitet, z.B. die Gewichtskraft der Holzkiste oder die des Autos. Den Betrag \(F_{\rm{N}}\) der Normalkraft kannst du mit dem Schieberegler links in bestimmten Grenzen verändern.

Zum anderen siehst du die Kraft \(\vec F_{\rm{U}}\). Dies ist die Kraft, mit der die Unterlage als Kompensationskraft zur Normalkraft auf den Klotz wirkt. Die Kraft \(\vec F_{\rm{U}}\) ist entgegengesetzt zur Normalkraft gerichtet und hat den gleichen Betrag wie die Normalkraft, so dass sich Normalkraft und Kraft der Unterlage aufheben und der Klotz auf der Unterlage ruht.

Wenn du die Animation mit dem Knopf unten startest, so gleitet der Klotz mit konstanter Geschwindigkeit nach rechts über den Boden. Im gleichen Augenblick erscheint die sogenannte Gleitreibungskraft \(\vec F_{\rm{GR}}\), die entgegen der Bewegungsrichtung wirkt. Der Betrag \(F_{\rm{GR}}\) der Gleitreibungskraft wird links angezeigt.

Damit der Klotz nicht durch die Gleitreibungskraft abgebremst wird, sondern mit konstanter Geschwindigkeit weitergleitet, ist eine Zugkraft \(\vec F_{\rm{Z}}\) notwendig. Diese Zugkraft muss in Bewegungsrichtung gerichtet sein und den gleichen Betrag wie die Gleitreibungskraft haben. In der Animation wird die Zugkraft automatisch der Gleitreibungskraft angepasst.

Materialien der Oberflächen
FN =
FGR =
zeige Auswertung
HTML5-Canvas nicht unterstützt!

In der Animation kannst du erkennen, dass sich der Betrag \(F_{\rm{GR}}\) der Gleitreibungskraft ändert, wenn du den Betrag \(F_{\rm{N}}\) der Normalkraft oder die Materialien der Oberflächen änderst. Wenn du auf die kleine Checkbox links klickst, wird dir die Auswertung und das Ergebnis der Experimente zur Gleitreibung angezeigt, die du unter dem Reiter "Versuche" findest.

Die Animation und die Experimente zeigen dir folgende Sachverhalte:

Eigenschaften der Gleitreibungskraft und Definition des Gleitreibungskoeffizienten

Wenn

  • ein Körper durch eine Kraft, die sogenannte Normalkraft \(\vec F_{\rm{N}}\) gegen einen anderen Körper gedrückt wird und

  • der eine Körper relativ zu dem anderen Körper gleitet

dann wirkt auf diesen Körper eine Kraft, die sogenannte Gleitreibungskraft \(\vec F_{\rm{GR}}\). Es gilt:

  • Die Gleitreibungskraft \(\vec F_{\rm{GR}}\) wirkt immer entgegen der Bewegungsrichtung des Körpers.

  • Der Betrag \(F_{\rm{GR}}\) der Gleitreibungskraft verändert sich in Abhängigkeit vom Betrag \(F_{\rm{N}}\) der Normalkraft und den Materialien der Oberflächen. Der Betrag der Gleitreibungskraft ist aber - was in der Animation nicht dargestellt wird - unabhängig von der Geschwindigkeit und unabhängig von der Größe der Kontaktfläche der beiden Körper.

Die Auswertung der entsprechender Experimente ergibt:

  • Der Betrag \(F_{\rm{GR}}\) der Gleitreibungskraft ist proportional zum Betrag \(F_{\rm{N}}\) der Normalkraft.

  • Die Proportionalitätskonstante, die man mit dem Buchstaben \({\mu _{{\rm{GR}}}}\) (sprich "mü Gleitreibung") bezeichnet und Gleitreibungskoeffizient oder Gleitreibungszahl nennt, hängt von den Materialien der Oberflächen der beiden Körper ab.

Kurz

\[\color{Red}{F_{\rm{GR}}} = \mu _{\rm{GR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}} \quad(1)\]

mit dem von den Materialien der Oberflächen abhängigen Gleitreibungskoeffizienten \({\mu _{{\rm{GR}}}}\). Der Gleitreibungskoeffizient hat keine Maßeinheit, man sagt er ist "dimensionslos". Die Gleitreibungskoeffizienten für verschiedene Oberflächenmaterialien findest du z.B. bei Wikipedia.

Hinweise

  • In den meisten Aufgaben im Physikunterricht ist die Normalkraft die Gewichtskraft (oder bei schiefen Ebenen ein Anteil der Gewichtskraft) des Körpers, der sich über den Untergrund bewegt. Im Alltag kann die Normalkraft aber viel größer sein, wenn z.B. der Körper in einer Maschine stark auf die Unterlage gepresst wird.

  • Wie bereits gesagt ist der Betrag der Gleitreibungskraft unabhängig von der Geschwindigkeit und insbesondere unabhängig von der Größe der Kontaktfläche von Körper und Untergrund. Dies ist für Schülerinnen und Schüler oft erstaunlich, hängt aber mit den mikroskopischen Ursachen für die Gleitreibungskraft zusammen.

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur Gleitreibung zu lösen musst du häufig die Gleichung \((1)\) nach einer unbekannten Größe auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Anleitung.

Die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{GR}}} = \mu _{\rm{GR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}}\]ist bereits nach \(\color{Red}{F_{\rm{GR}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{GR}}} = \mu _{\rm{GR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}}\]nach \(\mu _{\rm{GR}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Im Moment steht \(\mu _{\rm{GR}}\) noch auf der rechten Seite der Gleichung, es soll aber auf die linke Seite. Vertausche deshalb zuerst die beiden Seiten der Gleichung. Du erhältst
\[\mu _{\rm{GR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}} = \color{Red}{F_{\rm{GR}}}\]
Nun wird \(\mu _{\rm{GR}}\) aber noch mit \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\) multipliziert, es soll aber alleine stehen. Dividiere deshalb beide Seiten der Gleichung durch \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\) im Nenner steht – du wirst gleich sehen, warum dies geschickt ist. Du erhältst
\[\frac{{\mu _{\rm{GR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}}  }}{\color{Blue}{F_{\rm{N}}}} = \frac{\color{Red}{F_{\rm{GR}}}}{\color{Blue}{F_{\rm{N}}}}\]
Kürze nun den Bruch auf der linken Seite durch \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\). Du erhältst\[\mu _{\rm{GR}} = \frac{\color{Red}{F_{\rm{GR}}}}{\color{Blue}{F_{\rm{N}}}}\]Damit hast du dein Ziel erreicht: Die Gleichung ist nach \(\mu _{\rm{GR}}\) aufgelöst.
Um die die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{GR}}} = \mu _{\rm{GR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}}\]nach \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Im Moment steht \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\) noch auf der rechten Seite der Gleichung, es soll aber auf die linke Seite. Vertausche deshalb zuerst die beiden Seiten der Gleichung. Du erhältst
\[\mu _{\rm{GR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}} = \color{Red}{F_{\rm{GR}}}\]
Nun wird \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\) aber noch mit \(\mu _{\rm{GR}}\) multipliziert, es soll aber alleine stehen. Dividiere deshalb beide Seiten der Gleichung durch \(\mu _{\rm{GR}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \(\mu _{\rm{GR}}\) im Nenner steht – du wirst gleich sehen, warum dies geschickt ist. Du erhältst
\[\frac{{\mu _{\rm{GR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}} }}{\mu _{\rm{GR}}} = \frac{\color{Red}{F_{\rm{GR}}}}{\mu _{\rm{GR}}}\]
Kürze nun den Bruch auf der linken Seite durch \(\mu _{\rm{GR}}\). Du erhältst\[\color{Blue}{F_{\rm{N}}} = \frac{\color{Red}{F_{\rm{GR}}}}{\mu _{\rm{GR}}}\]Damit hast du dein Ziel erreicht: Die Gleichung ist nach \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\) aufgelöst.

Was dich erwartet

In diesem Abschnitt erklären wir dir die sogenannte Rollreibung oder auch Rollreibungskraft \(\vec F_{\rm{RR}}\). Du erfährst

  • wann Rollreibung auftritt und was man unter Rollreibung versteht

  • in welche Richtung die Rollreibungskraft stets wirkt

  • von welchen Größen der Betrag der Rollreibungskraft abhängt und schließlich

  • wie der Betrag der Rollreibungskraft von diesen Größen abhängt.

In der folgenden Animation siehst du ein Rad, das auf einer Unterlage ruht. Es könnte sich z.B. um das Rad einer Lokomotive auf den Schienen oder einen Fahrradreifen auf einer Straße handeln. Du kannst links oben die Materialien der Oberflächen von Rad und Unterlage auswählen. Dabei kommt es nicht darauf an, welcher Körper welche Oberfläche besitzt.

Das schwarze Kreuz in der Mitte des Rades markiert seinen Schwerpunkt. Dort greifen zwei Kräfte an: Zum einen siehst du die sogenannte Normalkraft \(\vec F_{\rm{N}}\). Als Normalkraft bezeichnen wir die Kraft, mit der das Rad "normal" (lateinisch norma „Maß“, im Sinne des rechten Winkels), d.h. senkrecht auf die Unterlage drückt. Die Normalkraft ist meistens die Gewichtskraft des Gegenstandes, der auf der Unterlage rollt, z.B. die Gewichtskraft der Lokomotive oder die des Fahrrads. Den Betrag \(F_{\rm{N}}\) der Normalkraft kannst du mit dem Schieberegler links in bestimmten Grenzen verändern.

Zum anderen siehst du die Kraft \(\vec F_{\rm{U}}\). Dies ist die Kraft, mit der die Unterlage als Kompensationskraft zur Normalkraft auf das Rad wirkt. Die Kraft \(\vec F_{\rm{U}}\) ist entgegengesetzt zur Normalkraft gerichtet und hat den gleichen Betrag wie die Normalkraft, so dass sich Normalkraft und Kraft der Unterlage aufheben und das Rad auf der Unterlage ruht.

Wenn du die Animation mit dem Knopf unten startest, so rollt das Rad mit konstanter Geschwindigkeit nach rechts über die Unterlage. Im gleichen Augenblick erscheint die sogenannte Rollreibungskraft \(\vec F_{\rm{RR}}\), die entgegen der Bewegungsrichtung wirkt. Der Betrag \(F_{\rm{RR}}\) der Rollreibungskraft wird links angezeigt.

Damit das Rad nicht durch die Rollreibungskraft abgebremst wird, sondern mit konstanter Geschwindigkeit weiterrollt, ist eine Zugkraft \(\vec F_{\rm{Z}}\) notwendig. Diese Zugkraft muss in Bewegungsrichtung gerichtet sein und den gleichen Betrag wie die Rollreibungskraft haben. In der Animation wird die Zugkraft automatisch der Rollreibungskraft angepasst.

Materialien der Oberflächen
FN =
FRR =
zeige Auswertung
HTML5-Canvas nicht unterstützt!

In der Animation kannst du erkennen, dass sich der Betrag \(F_{\rm{RR}}\) der Rollreibungskraft ändert, wenn du den Betrag \(F_{\rm{N}}\) der Normalkraft oder die Materialien der Oberflächen änderst. Wenn du auf die kleine Checkbox links klickst, wird dir die Auswertung und das Ergebnis der Experimente zur Rollreibung angezeigt, die du unter dem Reiter "Versuche" findest.

Die Animation und die Experimente zeigen dir folgende Sachverhalte:

Eigenschaften der Rollreibungskraft und Definition des Rollreibungskoeffizienten

Wenn

  • ein Körper durch eine Kraft, die sogenannte Normalkraft \(\vec F_{\rm{N}}\) gegen einen anderen Körper gedrückt wird und

  • der eine Körper relativ zu dem anderen Körper rollt

dann wirkt auf diesen Körper eine Kraft, die sogenannte Rollreibungskraft \(\vec F_{\rm{RR}}\). Es gilt:

  • Die Rollreibungskraft \(\vec F_{\rm{RR}}\) wirkt immer entgegen der Bewegungsrichtung des Körpers.

  • Der Betrag \(F_{\rm{RR}}\) der Rollreibungskraft verändert sich in Abhängigkeit vom Betrag \(F_{\rm{N}}\) der Normalkraft und den Materialien der Oberflächen. Der Betrag der Rollreibungskraft ist aber - was in der Animation nicht dargestellt wird - unabhängig von der Geschwindigkeit und unabhängig von der Größe der Kontaktfläche der beiden Körper.

Die Auswertung der entsprechender Experimente ergibt:

  • Der Betrag \(F_{\rm{RR}}\) der Rollreibungskraft ist proportional zum Betrag \(F_{\rm{N}}\) der Normalkraft.

  • Die Proportionalitätskonstante, die man mit dem Buchstaben \({\mu _{{\rm{RR}}}}\) (sprich "mü Rollreibung") bezeichnet und Rollreibungskoeffizient oder Rollreibungszahl nennt, hängt von den Materialien der Oberflächen der beiden Körper ab.

Kurz

\[\color{Red}{F_{\rm{RR}}} = \mu _{\rm{RR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}} \quad(1)\]

mit dem von den Materialien der Oberflächen abhängigen Rollreibungskoeffizienten \({\mu _{{\rm{RR}}}}\). Der Rollreibungskoeffizient hat keine Maßeinheit, man sagt er ist "dimensionslos". Die Rollreibungskoeffizienten für verschiedene Oberflächenmaterialien findest du z.B. bei Wikipedia.

Hinweise

  • In den meisten Aufgaben im Physikunterricht ist die Normalkraft die Gewichtskraft (oder bei schiefen Ebenen ein Anteil der Gewichtskraft) des Körpers, der über den Untergrund rollt. Im Alltag kann die Normalkraft aber viel größer sein, wenn z.B. der Körper in einer Maschine stark auf die Unterlage gepresst wird.

  • Wie bereits gesagt ist der Betrag der Rollreibungskraft unabhängig von der Geschwindigkeit und insbesondere unabhängig von der Größe der Kontaktfläche von Körper und Untergrund. Dies ist für Schülerinnen und Schüler oft erstaunlich, hängt aber mit den mikroskopischen Ursachen für die Rollreibungskraft zusammen.

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur Rollreibung zu lösen musst du häufig die Gleichung \((1)\) nach einer unbekannten Größe auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Anleitung.

Die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{RR}}} = \mu _{\rm{RR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}}\]ist bereits nach \(\color{Red}{F_{\rm{RR}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{RR}}} = \mu _{\rm{RR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}}\]nach \(\mu _{\rm{RR}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Im Moment steht \(\mu _{\rm{RR}}\) noch auf der rechten Seite der Gleichung, es soll aber auf die linke Seite. Vertausche deshalb zuerst die beiden Seiten der Gleichung. Du erhältst
\[\mu _{\rm{RR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}} = \color{Red}{F_{\rm{RR}}}\]
Nun wird \(\mu _{\rm{RR}}\) aber noch mit \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\) multipliziert, es soll aber alleine stehen. Dividiere deshalb beide Seiten der Gleichung durch \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\) im Nenner steht – du wirst gleich sehen, warum dies geschickt ist. Du erhältst
\[\frac{{\mu _{\rm{RR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}}  }}{\color{Blue}{F_{\rm{N}}}} = \frac{\color{Red}{F_{\rm{RR}}}}{\color{Blue}{F_{\rm{N}}}}\]
Kürze nun den Bruch auf der linken Seite durch \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\). Du erhältst\[\mu _{\rm{RR}} = \frac{\color{Red}{F_{\rm{RR}}}}{\color{Blue}{F_{\rm{N}}}}\]Damit hast du dein Ziel erreicht: Die Gleichung ist nach \(\mu _{\rm{RR}}\) aufgelöst.
Um die die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{RR}}} = \mu _{\rm{RR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}}\]nach \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Im Moment steht \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\) noch auf der rechten Seite der Gleichung, es soll aber auf die linke Seite. Vertausche deshalb zuerst die beiden Seiten der Gleichung. Du erhältst
\[\mu _{\rm{RR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}} = \color{Red}{F_{\rm{RR}}}\]
Nun wird \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\) aber noch mit \(\mu _{\rm{RR}}\) multipliziert, es soll aber alleine stehen. Dividiere deshalb beide Seiten der Gleichung durch \(\mu _{\rm{RR}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \(\mu _{\rm{RR}}\) im Nenner steht – du wirst gleich sehen, warum dies geschickt ist. Du erhältst
\[\frac{{\mu _{\rm{RR}} \cdot \color{Blue}{F_{\rm{N}}} }}{\mu _{\rm{RR}}} = \frac{\color{Red}{F_{\rm{RR}}}}{\mu _{\rm{RR}}}\]
Kürze nun den Bruch auf der linken Seite durch \(\mu _{\rm{RR}}\). Du erhältst\[\color{Blue}{F_{\rm{N}}} = \frac{\color{Red}{F_{\rm{RR}}}}{\mu _{\rm{RR}}}\]Damit hast du dein Ziel erreicht: Die Gleichung ist nach \(\color{Blue}{F_{\rm{N}}}\) aufgelöst.

Was dich erwartet

In diesem Abschnitt erklären wir dir die sogenannten viskose Reibung(skraft) \(\vec F_{\rm{VR}}\), auch innere Reibung(skraft) oder STOKES-Reibung(skraft) (Sir George Gabriel STOKES, 1819 - 1903) genannt. Du erfährst

  • wann viskose Reibung auftritt und was man unter viskoser Reibung versteht

  • in welche Richtung die viskose Reibung stets wirkt

  • von welchen Größen der Betrag der viskosen Reibung abhängt und schließlich

  • wie der Betrag der viskose Reibung von diesen Größen abhängt.

In der folgenden Animation siehst du eine Kugel, die in einer Flüssigkeit ruht. Alle folgenden Aussagen treffen nämlich nur für eine Kugel und nicht für andere Körper zu. Du kannst links oben die Flüssigkeit auswählen. Das schwarze Kreuz innerhalb der Kugel markiert ihren Schwerpunkt.

Wenn du die Animation mit dem Knopf unten startest, so bewegt sich die Kugel mit konstanter Geschwindigkeit \(\vec v\) nach rechts durch die Flüssigkeit. Den Betrag \(v\) der Geschwindigkeit kannst du mit dem Schieberegler in gewissen Grenzen verändern. Im gleichen Augenblick erscheint die sogenannte viskose Reibung(skraft) \(\vec F_{\rm{VR}}\), die entgegen der Bewegungsrichtung wirkt. Der Betrag \(F_{\rm{VR}}\) der viskosen Reibung(skraft) wird links angezeigt.

Damit die Kugel nicht durch die viskose Reibung(skraft) abgebremst wird, sondern sich mit konstanter Geschwindigkeit durch die Flüssigkeit weiterbewegt, ist eine Zugkraft \(\vec F_{\rm{Z}}\) notwendig. Diese Zugkraft muss in Bewegungsrichtung gerichtet sein und den gleichen Betrag wie die viskose Reibung(skraft) haben. In der Animation wird die Zugkraft automatisch der viskosen Reibung(skraft) angepasst.

Flüssigkeit
v =
FVR =
zeige Auswertung
HTML5-Canvas nicht unterstützt!

In der Animation kannst du erkennen, dass sich der Betrag \(F_{\rm{VR}}\) der viskosen Reibung(skraft) ändert, wenn du den Betrag \(v\) der Geschwindigkeit oder die Flüssigkeit änderst. Wenn du auf die kleine Checkbox links klickst, wird dir die Auswertung und das Ergebnis der Experimente zur viskosen Reibung angezeigt.

Die Animation und die Experimente zeigen dir folgende Sachverhalte:

Eigenschaften der viskosen Reibung(skraft)

Wenn

  • sich eine Kugel relativ zu einer Flüssigkeit bewegt

dann wirkt auf diese Kugel eine Kraft, die sogenannte viskose Reibung(skraft) \(\vec F_{\rm{VR}}\). Es gilt:

  • Die viskose Reibung(skraft) \(\vec F_{\rm{VR}}\) wirkt immer entgegen der Bewegungsrichtung des Körpers.

  • Der Betrag \(F_{\rm{VR}}\) der viskosen Reibung(skraft) verändert sich in Abhängigkeit vom Betrag \(v\) der Geschwindigkeit und der Flüssigkeit. Der Betrag der viskosen Reibung(skraft) ist weiter - was in der Animation nicht dargestellt wird - abhängig vom Radius \(r\) der Kugel.

Die Auswertung der entsprechender Experimente ergibt:

  • Der Betrag \(F_{\rm{VR}}\) der viskosen Reibung(skraft) ist proportional zum Betrag \(v\) der Geschwindigkeit, zum Radius \(r\) der Kugel und zur sogenannten dynamischen Viskosität \(\eta\) der Flüssigkeit.

Kurz

\[\color{Red}{F_{\rm{VR}}} = 6 \cdot \pi \cdot r \cdot \eta \cdot \color{Blue}{v} \quad(1)\]

Die dynamische Viskosität verschiedener Flüssigkeiten findest du z.B. bei Wikipedia.

Hinweis

Den Effekt innerer Reibung kann man sich vereinfacht durch die Bewegung zweier übereinander liegender, verzahnter Molekülschichten vorstellen. Beim Fließen gleiten die Moleküle aneinander vorbei, und um die Verzahnung zu überwinden, benötigt man eine gewisse Kraft. Den Zusammenhang zwischen dieser Kraft und den Eigenschaften der vorliegenden Füssigkeit definiert die dynamische Viskosität.

Die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{VR}}} = 6 \cdot \pi \cdot r \cdot \eta \cdot \color{Blue}{v}\]ist bereits nach \(\color{Red}{F_{\rm{VR}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzufüVRen.
Um die die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{VR}}} = 6 \cdot \pi \cdot r \cdot \eta \cdot \color{Blue}{v}\]nach \(r\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Im Moment steht \(r\) noch auf der rechten Seite der Gleichung, es soll aber auf die linke Seite. Vertausche deshalb zuerst die beiden Seiten der Gleichung. Du erhältst
\[6 \cdot \pi \cdot r \cdot \eta \cdot \color{Blue}{v} = \color{Red}{F_{\rm{VR}}}\]
Nun wird \(r\) aber noch mit \(6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot \color{Blue}{v}\) multipliziert, es soll aber alleine stehen. Dividiere deshalb beide Seiten der Gleichung durch \(6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot \color{Blue}{v}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \(6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot \color{Blue}{v}\) im Nenner steht – du wirst gleich sehen, warum dies geschickt ist. Du erhältst
\[\frac{{6 \cdot \pi \cdot r \cdot \eta \cdot \color{Blue}{v}}}{6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot \color{Blue}{v}} = \frac{\color{Red}{F_{\rm{VR}}}}{6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot \color{Blue}{v}}\]
Kürze nun den Bruch auf der linken Seite durch \(6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot \color{Blue}{v}\). Du erhältst\[r = \frac{\color{Red}{F_{\rm{VR}}}}{6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot \color{Blue}{v}}\]Damit hast du dein Ziel erreicht: Die Gleichung ist nach \(r\) aufgelöst.
Um die die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{VR}}} = 6 \cdot \pi \cdot r \cdot \eta \cdot \color{Blue}{v}\]nach \(\eta\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Im Moment steht \(\eta\) noch auf der rechten Seite der Gleichung, es soll aber auf die linke Seite. Vertausche deshalb zuerst die beiden Seiten der Gleichung. Du erhältst
\[6 \cdot \pi \cdot r \cdot \eta \cdot \color{Blue}{v} = \color{Red}{F_{\rm{VR}}}\]
Nun wird \(\eta\) aber noch mit \(6 \cdot \pi \cdot r \cdot \color{Blue}{v}\) multipliziert, es soll aber alleine stehen. Dividiere deshalb beide Seiten der Gleichung durch \(6 \cdot \pi \cdot r \cdot \color{Blue}{v}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \(6 \cdot \pi \cdot r \cdot \color{Blue}{v}\) im Nenner steht – du wirst gleich sehen, warum dies geschickt ist. Du erhältst
\[\frac{6 \cdot \pi \cdot r \cdot \eta \cdot \color{Blue}{v}}{6 \cdot \pi \cdot r \cdot \color{Blue}{v}} = \frac{\color{Red}{F_{\rm{VR}}}}{6 \cdot \pi \cdot r \cdot \color{Blue}{v}}\]
Kürze nun den Bruch auf der linken Seite durch \(6 \cdot \pi \cdot r \cdot \color{Blue}{v}\). Du erhältst\[\eta = \frac{\color{Red}{F_{\rm{VR}}}}{6 \cdot \pi \cdot r \cdot \color{Blue}{v}}\]Damit hast du dein Ziel erreicht: Die Gleichung ist nach \(\eta\) aufgelöst.
Um die die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{VR}}} = 6 \cdot \pi \cdot r \cdot \eta \cdot \color{Blue}{v}\]nach \(\color{Blue}{v}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Im Moment steht \(\color{Blue}{v}\) noch auf der rechten Seite der Gleichung, es soll aber auf die linke Seite. Vertausche deshalb zuerst die beiden Seiten der Gleichung. Du erhältst
\[6 \cdot \pi \cdot r \cdot \eta \cdot \color{Blue}{v} = \color{Red}{F_{\rm{VR}}}\]
Nun wird \(\color{Blue}{v}\) aber noch mit \(6 \cdot \pi \cdot r \cdot \eta\) multipliziert, es soll aber alleine stehen. Dividiere deshalb beide Seiten der Gleichung durch \(6 \cdot \pi \cdot r \cdot \eta\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \(6 \cdot \pi \cdot r \cdot \eta\) im Nenner steht – du wirst gleich sehen, warum dies geschickt ist. Du erhältst
\[\frac{6 \cdot \pi \cdot r \cdot \eta \cdot \color{Blue}{v}}{6 \cdot \pi \cdot r \cdot \eta} = \frac{\color{Red}{F_{\rm{VR}}}}{6 \cdot \pi \cdot r \cdot \eta}\]
Kürze nun den Bruch auf der linken Seite durch \(6 \cdot \pi \cdot r \cdot \eta\). Du erhältst\[\color{Blue}{v} = \frac{\color{Red}{F_{\rm{VR}}}}{6 \cdot \pi \cdot r \cdot \eta}\]Damit hast du dein Ziel erreicht: Die Gleichung ist nach \(\color{Blue}{v}\) aufgelöst.

Was dich erwartet

In diesem Abschnitt erklären wir dir den sogenannten Luftwiderstand, auch Luftwiderstandskraft \(\vec F_{\rm{LR}}\) genannt. Du erfährst

  • wann Luftwiderstand auftritt und was man unter Luftwiderstand versteht

  • in welche Richtung der Luftwiderstand stets wirkt

  • von welchen Größen der Betrag des Luftwiderstands abhängt und schließlich

  • wie der Betrag des Luftwiderstands von diesen Größen abhängt.

In der folgenden Animation siehst du einen Körper, der in der Luft ruht. Du kannst links oben die Form des Körpers auswählen. Das schwarze Kreuz innerhalb des Körpers markiert seinen Schwerpunkt.

Wenn du die Animation mit dem Knopf unten startest, so bewegt sich der Körper mit konstanter Geschwindigkeit \(\vec v\) nach rechts durch die Luft. Den Betrag \(v\) der Geschwindigkeit kannst du mit dem Schieberegler in gewissen Grenzen verändern. Im gleichen Augenblick erscheint die sogenannte Luftwiderstandskraft \(\vec F_{\rm{LR}}\), die entgegen der Bewegungsrichtung wirkt. Der Betrag \(F_{\rm{LR}}\) der Luftwiderstandskraft wird links angezeigt.

Damit der Klotz nicht durch die Luftwiderstandskraft abgebremst wird, sondern mit konstanter Geschwindigkeit weitergleitet, ist eine Zugkraft \(\vec F_{\rm{Z}}\) notwendig. Diese Zugkraft muss in Bewegungsrichtung gerichtet sein und den gleichen Betrag wie die Luftwiderstandskraft haben. In der Animation wird die Zugkraft automatisch der Luftwiderstandskraft angepasst.

Körper
v =
FLR =
zeige Auswertung
HTML5-Canvas nicht unterstützt!

In der Animation kannst du erkennen, dass sich der Betrag \(F_{\rm{LR}}\) der Luftwiderstandskraft ändert, wenn du den Betrag \(v\) der Geschwindigkeit oder die Form des Körpers änderst. Wenn du auf die kleine Checkbox links klickst, wird dir die Auswertung und das Ergebnis der Experimente zum Luftwiderstand angezeigt.

Die Animation und die Experimente zeigen dir folgende Sachverhalte:

Eigenschaften der Luftwiderstandskraft und Definition des \(c_{\rm{w}}\)-Wertes

Wenn

  • sich ein Körper relativ zur Luft bewegt

dann wirkt auf diesen Körper eine Kraft, die sogenannte Luftwiderstandskraft \(\vec F_{\rm{LR}}\). Es gilt:

  • Die Luftwiderstandskraft \(\vec F_{\rm{LR}}\) wirkt immer entgegen der Bewegungsrichtung des Körpers.

  • Der Betrag \(F_{\rm{LR}}\) der Luftwiderstandskraft verändert sich in Abhängigkeit vom Betrag \(v\) der Geschwindigkeit und der Form des Körpers. Der Betrag der Luftwiderstandskraft ist weiter - was in der Animation nicht dargestellt wird - abhängig von der Querschnittsfläche \(A\), die der Körper der Luft entgegenstellt und schließlich der Dichte \(\rho_{\rm{Luft}}\) der Luft.

Die Auswertung der entsprechender Experimente ergibt:

  • Der Betrag \(F_{\rm{LR}}\) der Luftwiderstandskraft ist proportional zum Quadrat des Betrags \(v\) der Geschwindigkeit, zur Querschnittsfläche \(A\) und zur Dichte \(\rho_{\rm{Luft}}\) der Luft.

  • Die Proportionalitätskonstante, die man mit dem Buchstaben \(c_{\rm{w}}\) (sprich "c-w") bezeichnet und Luftwiderstandsbeiwert nennt, hängt von der Form des Körpers ab.

  • Schließlich beinhaltet die Formel noch den Faktor \(\frac{1}{2}\); seine Herkunft beruht auf theoretischen Überlegungen, die wir weiter unten kurz vorstellen.

Kurz

\[\color{Red}{F_{\rm{LR}}} = \frac{1}{2} \cdot A \cdot c_{\rm{w}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2 \quad(1)\]

mit dem von der Form des Körpers Luftwiderstandsbeiwert \(c_{\rm{w}}\). Der Luftwiderstandsbeiwert hat keine Maßeinheit, man sagt er ist "dimensionslos". Die Luftwiderstandsbeiwerte für verschiedene Formen von Körpern findest du z.B. bei Wikipedia.

Hinweis

Im Folgenden soll anhand eines einfachen Modells eines Radfahrers gezeigt werden, wie man mit einer energetischen Überlegung auf die Formel \((1)\) kommt.

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zum Luftwiderstand zu lösen musst du häufig die Gleichung \((1)\) nach einer unbekannten Größe auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Anleitung.

Die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{LR}}} = \frac{1}{2} \cdot A \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2\]ist bereits nach \(\color{Red}{F_{\rm{LR}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{LR}}} = \frac{1}{2} \cdot A \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2\]nach \(A\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Im Moment steht \(A\) noch auf der rechten Seite der Gleichung, es soll aber auf die linke Seite. Vertausche deshalb zuerst die beiden Seiten der Gleichung. Du erhältst
\[\frac{1}{2} \cdot A \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2 = \color{Red}{F_{\rm{LR}}}\]
Nun wird \(A\) aber noch mit \(\frac{1}{2} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2\) multipliziert, es soll aber alleine stehen. Dividiere deshalb beide Seiten der Gleichung durch \(\frac{1}{2} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \(\frac{1}{2} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2\) im Nenner steht – du wirst gleich sehen, warum dies geschickt ist. Du erhältst
\[\frac{\frac{1}{2} \cdot A \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2}{\frac{1}{2} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2} = \frac{\color{Red}{F_{\rm{LR}}}}{\frac{1}{2} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2}\]
Kürze nun den Bruch auf der linken Seite durch \(\frac{1}{2} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2\). Du erhältst
\[A = \frac{\color{Red}{F_{\rm{LR}}}}{{\frac{1}{2} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho _{{\rm{Luft}}}} \cdot {\color{Blue}{v}^2}}} = \frac{{2 \cdot \color{Red}{F_{\rm{LR}}}}}{{{c_{\rm{W}}} \cdot \rho _{\rm{Luft}} \cdot {\color{Blue}{v}^2}}}\]Damit hast du dein Ziel erreicht: Die Gleichung ist nach \(A\) aufgelöst.
Um die die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{LR}}} = \frac{1}{2} \cdot A \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2\]nach \(c_{\rm{W}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Im Moment steht \(c_{\rm{W}}\) noch auf der rechten Seite der Gleichung, es soll aber auf die linke Seite. Vertausche deshalb zuerst die beiden Seiten der Gleichung. Du erhältst
\[\frac{1}{2} \cdot A \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2 = \color{Red}{F_{\rm{LR}}}\]
Nun wird \(c_{\rm{W}}\) aber noch mit \(\frac{1}{2} \cdot A \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2\) multipliziert, es soll aber alleine stehen. Dividiere deshalb beide Seiten der Gleichung durch \(\frac{1}{2} \cdot A \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \(\frac{1}{2} \cdot A \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2\) im Nenner steht – du wirst gleich sehen, warum dies geschickt ist. Du erhältst
\[\frac{\frac{1}{2} \cdot A \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2}{\frac{1}{2} \cdot A \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2} = \frac{\color{Red}{F_{\rm{LR}}}}{\frac{1}{2} \cdot A \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2}\]
Kürze nun den Bruch auf der linken Seite durch \(\frac{1}{2} \cdot A \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2\). Du erhältst
\[c_{\rm{W}} = \frac{\color{Red}{F_{\rm{LR}}}}{{\frac{1}{2} \cdot A \cdot {\rho _{{\rm{Luft}}}} \cdot {\color{Blue}{v}^2}}} = \frac{{2 \cdot \color{Red}{F_{\rm{LR}}}}}{{A \cdot \rho _{\rm{Luft}} \cdot {\color{Blue}{v}^2}}}\]Damit hast du dein Ziel erreicht: Die Gleichung ist nach \(c_{\rm{W}}\) aufgelöst.
Um die die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{LR}}} = \frac{1}{2} \cdot A \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2\]nach \(\color{Blue}{v}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Im Moment steht \(\color{Blue}{v}\) noch auf der rechten Seite der Gleichung, es soll aber auf die linke Seite. Vertausche deshalb zuerst die beiden Seiten der Gleichung. Du erhältst
\[\frac{1}{2} \cdot A \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2 = \color{Red}{F_{\rm{LR}}}\]
Nun wird \(\color{Blue}{v}^2\) aber noch mit \(\frac{1}{2} \cdot A \cdot  {c_{\rm{W}}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \) multipliziert, es soll aber alleine stehen. Dividiere deshalb beide Seiten der Gleichung durch \(\frac{1}{2} \cdot A \cdot  {c_{\rm{W}}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \(\frac{1}{2} \cdot A \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \) im Nenner steht – du wirst gleich sehen, warum dies geschickt ist. Du erhältst
\[\frac{\frac{1}{2} \cdot A \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2}{\frac{1}{2} \cdot A  \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \rho_{\rm{Luft}}} = \frac{\color{Red}{F_{\rm{LR}}}}{\frac{1}{2} \cdot A \cdot  {c_{\rm{W}}} \cdot \rho_{\rm{Luft}}}\]
Kürze nun den Bruch auf der linken Seite durch \(\frac{1}{2} \cdot A \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot  \rho_{\rm{Luft}}\). Du erhältst\[{\color{Blue}{v}^2} = \frac{\color{Red}{F_{\rm{LR}}}}{{\frac{1}{2} \cdot A \cdot c_{\rm{W}} \cdot {\rho _{{\rm{Luft}}}}}} = \frac{{2 \cdot \color{Red}{F_{\rm{LR}}}}}{{A \cdot c_{\rm{W}} \cdot \rho _{\rm{Luft}} }}\]
Nun wird \(\color{Blue}{v}\) aber noch mit quadriert, es soll aber ohne Exponent stehen. Ziehe deshalb auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel. Dies ist problemlos möglich, da beide Seiten der Gleichung positiv sind. Du erhältst
\[\color{Blue}{v} = \sqrt {\frac{{2 \cdot {\color{Red}{F_{\rm{LR}}}}}}{{A \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho _{{\rm{Luft}}}}}}} \]
Damit hast du dein Ziel erreicht: Die Gleichung ist nach \(\color{Blue}{v}\) aufgelöst.
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