Kernreaktionen

Kern-/Teilchenphysik

Kernreaktionen

  • Wie groß sind die Bindungsenergien?
  • Was ist der Massendefekt?
  • Wie berechnet man die Energiebilanz bei Kernreaktionen?

Zerlegt man einen Kern, bestehend aus Z Protonen und N Neutronen, in seine Bestandteile und sind die Kernbausteine (Nukleonen) soweit voneinander entfernt, dass weder die elektrische Abstoßungskraft zwischen den Protonen noch die starke Kernkraft zwischen den Nukleonen eine Rolle spielen, so ist die Gesamtenergie Evor der Bausteine nach der Einsteinschen Masse-Energie-Beziehung zu berechnen:
\[{E_{vor}} = \left( {Z \cdot m\left( {{}_1^1p} \right) + N \cdot m\left( {{}_0^1n} \right)} \right) \cdot {c^2}\]

Baut man die Nukleonen zu einem Kern X zusammen, so verliert das System aufgrund der anziehenden Kräfte zwischen Nukleonen an Energie, die Gesamtenergie nach dem Zusammenbau Enach wird nun kleiner sein. Wegen der Äquivalenz von Masse und Energie wird auch die Masse mk der Kerns kleiner sein als die Summe der Massen der Einzelbaustein. Für Enach gilt:
\[{E_{nach}} = m\left( {{}_{Z\;\;}^{Z + N}X} \right) \cdot {c^2}\]

Je stärker die Bindungskräfte zwischen den zum Kern zusammengefügten Nukleonen ist, desto kleiner wird der Betrag von Enach ausfallen.

Die Energiedifferenz Ea - Ee wird als Bindungsenergie B des Kerns bezeichnet. Es gilt:
\[B = {E_{vor}} - {E_{nach}} = \left( {Z \cdot m\left( {_1^1p} \right) + N \cdot m\left( {_0^1n} \right)} \right) \cdot {c^2} - m\left( {{}_{Z\;\;}^{Z + N}X} \right) \cdot {c^2} = \left( {Z \cdot m\left( {_1^1p} \right) + N \cdot m\left( {_0^1n} \right) - m\left( {{}_{Z\;\;}^{Z + N}X} \right)} \right) \cdot {c^2}\]
 

Wie du auf der Grundwissensseite zur Einsteinschen Beziehung gelernt hast, ist der Ausdruck in der eckigen Klammer aber gerade der Massendefekt Δm. Somit gilt:

Bindungsenergie:
\[B = \Delta m \cdot {c^2}\]

Die Bindungsenergie ist die beim Zusammenbau eines Kerns aus seinen Einzelbausteinen freiwerdende Energie. Sie hat ein positives Vorzeichen (exothermer Vorgang).

Unter der mittleren Bindungsenergie pro Nukleon versteht man die Bindungsenergie bezogen auf ein Nukleon. Die mittlere Bindungsenergie hat den Wert B/A. Dabei ist A die Nukleonen- oder auch Massezahl.

Bindungsenergie des Deuterons

Berechne mit Hilfe der Daten der Formelsammlung den Massendefekt und die Bindungsenergie des Deuterons (Wasserstoffisotop mit einem Proton und einem Neutron im Kern).

Berechne die mittlere Bindungsenergie pro Nukleon im Deuteron.

Erläutere, ob im Allgemeinen ein schwerer oder ein leichter Kern die höhere Bindungsenergie haben wird.

Man kann nun - wie bei der obigen Aufgabe - für alle stabilen Kerne die Bindungsenergien ausrechnen. Will man wissen, wie stark ein Nukleon an einen Kern gebunden ist, so bietet sich als ungefähres Maß die mittlere Bindungsenergie pro Nukleon B/A bei dem jeweiligen Kern an. In der folgenden Abbildung ist B/A über der Nukleonenzahl A aufgetragen.

Die Bindungsenergie pro Nukleon schwankt bei kleinen Massenzahlen stark. Sie weist bei He-4 ein ausgeprägtes relatives Maximum (höchster Punkt im Vergleich zur unmittelbaren Umgebung) auf. Ähnliches gilt z.B. auch für O-16. Bei etwa A = 56 (Eisen) erreicht die Bindungsenergie pro Nukleon ihren größten Wert, um dann zu schwereren Kernen hin wieder abzufallen. Dieser Rückgang der mittleren Bindungsenergie ist auf die langreichweitigen, abstoßenden elektrischen Kräfte zwischen den Protonen zurückzuführen.

Möglichkeiten der nuklearen "Energiegewinnung" durch Fusion
Bei Kernfusion in der Sonne werden - vereinfacht dargestellt - zwei Protonen und zwei Neutronen zu Helium-4 verschmolzen. Wie die folgende Animation zeigt, lässt sich mit Hilfe des obigen Diagrammes der Betrag der freiwerdenden Energie bei einem solchen Fusionsprozess abschätzen.

Da die Masse der einzelnen freien vier Nukleonen größer ist als die Masse des daraus gebildeten Heliumkerns, wird beim Zusammenbau Energie frei. Im Mittel trägt jedes der vier Nukleonen 7 MeV bei, also wird beim Zusammenbau die Energie

4·7 MeV = 28 MeV

frei. Umgekehrt muss man ca. 28 MeV Energie aufwenden, um He-4 in seine Einzelbausteine zerlegen zu können.

Nukleare "Energiegewinnung" durch Spaltung (schwierige Ausgabe)

Auch bei der Spaltung eines schweren Kerns (z.B. Uran) in zwei mittelschwere Kerne kann man Energie "gewinnen". Erläutere diesen Vorgang an Hand des Diagramms und schätze auch hier die freiwerdende Energie bei einem solchen Spaltprozess ab.

Es wird eine Reaktion betrachtet, bei der ein Geschoßteilchen x auf ein Targetteilchen X im Grundzustand trifft. Das Bezugssystem wird so gewählt, dass das Teilchen X vor der Reaktion ruht, d.h. Ekin,X = 0. Nach der Reaktion fliegen die Teilchen y und Y* auseinander. Dabei soll der Stern (*) bei Y andeuten, dass der Kern Y angeregt sein kann, das Teilchen y sei im Grundzustand. Die Anregungsenergie von Y betrage EY*.

x + X → Y* + y


Der Energieerhaltungssatz besagt nun (m: geschwindigkeitsabhängige Atom- oder Kernmasse):

m(x)·c² + m(X)·c² = m(Y)·c² + m(y)·c²

Drückt man die Gesamtenergie der Reaktionspartner durch ihre Ruheenergien und kinetischen Energien sowie die Anregungsenergie des Partners Y aus, so gilt (m0 sind die Ruhemassen der Reaktionspartner):

m0(x)·c² + Ekin,x + m0(X)·c² = m0(Y)·c² + Ekin,Y + E*(Y) + m0(y)·c² + Ekin,y (1)

Unter der Reaktionsenergie Q (kurz: Q-Wert) versteht man nun die Summe der nach der Reaktion vorliegenden kinetischen Energien und der Anregungsenergie von Y vermindert um die Summe der vor der Wechselwirkung bestehenden kinetischen Energien:

Q = Σ (Ekin + Eanreg)nachher  -  Σ Ekin,vorher (2)

Durch geschicktes Umsortieren der Gleichung (1) kann man erreichen, dass der durch Gleichung (2) definierte Q-Wert leicht zu erkennen ist:

Ekin,Y + E*(Y) + Ekin,y - Ekin,x = (m0(x)·c² + m0(X)·c²) - (m0(Y)·c² + m0(y)·c²) (3)

Die linke Seite der Gleichung (3) entspricht der Definition des Q-Wertes für die oben vorgestellte Reaktion. Natürlich muss damit auch die rechte Seite von (3) gleich dem Q-Wert sein:

Q = (m0(x)·c² + m0(X)·c²) - (m0(Y)·c² + m0(y)·c²)

Q ist die Sume der Ruheenergien vorher minus die Summe der Ruheenergien nachher(4)

Kennt man also die Ruhemassen der beteiligten Produkte, so kann man mit Gleichung (4) die Reaktionsenergie Q berechnen.

Hinweis:

  • Ist die Summe der kinetischen Energien der Produkte nach der Reaktion höher als die Summe der kinetischen Energien vor der Reaktion, so spricht man von einem exothermen Vorgang.
  • Ist die Summe der kinetischen Energien der Produkte nach der Reaktion kleiner als die Summe der kinetischen Energien vor der Reaktion, so spricht man von einem endothermen Vorgang.

Für die Berechnung des Q-Wertes sind zwei Betrachtungsweisen möglich:

  • Man geht von den Kernmassen aus;
  • Man geht von den Atommassen aus.

Die Massenbestimmung schwerer Elemente gelingt sehr genau mit Hilfe von Massenspektrometern, bei denen man durch die Ablenkung von z.B. einfach ionisierten Atomen in elektrischen und magnetischen Feldern deren spezifische Ladung bestimmt. Bei hohen Ordnungszahlen treten "nackte" Kerne (also Kerne ohne jegliche Hüllenelektronen) so gut wie nicht auf. Deshalb wird der Q-Bestimmung über die Atommassen größere Bedeutung zukommen, da man über die Atommassen eine sehr genaue Kenntnis besitzt.

Q-Wert
Überlegung mit Kernen Q = (mk,0(x)·c² + mk,0(X)·c²) - (mk,0(Y)·c² + mk,0(y)·c²) *
Überlegung mit Atomen Q = (ma,0(x)·c² + ma,0(X)·c²) - (ma,0(Y)·c² + ma,0(y)·c²)
* Wegen der Ladungserhaltung ist die Summe der Kernladungszahlen vor und nach der Reaktion gleich. Fügt man in dieser Gleichung zu den jeweiligen Kernen die entsprechende Ruheenergie der Hüllenelektronen hinzu, so gelangt man (nahezu) zum Q-Wert mit Atommassen. Es besteht nur ein geringfügiger Unterschied in den beiden Q-Werten, der auf die unterschiedlichen Elektronenbindungsenergien Be der Hüllenelektronen in den Atomen zurückzuführen ist. Für gröbere Berechnungen ist es also unerheblich, ob man mit den Ruhemassen von Kernen oder Atomen rechnet.
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