Ladungen & Felder - Oberstufe

Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

Charles Augustin de COULOMB
(1736 - 1806)
unbekannter Autor [Public domain], via Wikimedia Commons

Vorversuch

Kondensatoren sind in der Lage elektrische Energie zu speichern. Der nebenstehend skizzierte Versuch zeigt dies auf einfache Weise:

  • Ein Kondensator der Kapazität \(C\) wird über einen Widerstand der Größe \(R\) auf die Spannung \(U\) aufgeladen.

  • Die Entladung des Kondensators erfolgt über eine Glimmlampe. Diese leuchtet beim Entladevorgang an der mit der negativen Kondensatorplatte verbundenen Elektrode auf ("negatives Glimmlicht"). Die innere Energie und die Lichtenergie, die in der Glimmlampe umgesetzt wird, muss aus dem Energieinhalt des Kondensators stammen.

Gedankenexperiment

In einem Gedankenexperiment soll nun geklärt werden, von welchen Größen die Energie, die in einem Kondensator bzw. dessen elektrischen Feld gespeichert ist, abhängt:

Dazu stellen wir uns einen geladenen Kondensator vor, welcher von der Stromquelle getrennt ist. Die Entladung des Kondensators soll schrittweise vorgenommen werden, indem solang gleiche positive Ladungsportionen \(\Delta Q\) von der positiven zur negativen Platte transportiert werden, bis der Kondensator entladen ist.

Aus der Beziehung \(C = \frac{Q}{U}\) folgt bei konstanter Kapazität die direkte Proportionalität von \(U\) und \(Q\):
\[U = \frac{Q}{C}\quad \Rightarrow \quad U \sim Q\]

Beim Transport der Ladung \(\Delta Q\) wird der Energieinhalt des Kondensators um einen bestimmten Betrag verringert und dabei an der Ladung \(\Delta Q\) die Arbeit \(\Delta W\) verrichtet. Nimmt die Ladung des Kondensators ab, so wird wegen \(U \sim Q\) auch die Spannung am Kondensator kleiner. Ist allerdings die transportierte Ladungsportion \(\Delta Q\) sehr klein, so kann man näherungsweise von einer konstanten Kondensatorspannung während des Transports ausgehen.

Für die an der Ladung verrichtete Arbeit gilt dann:
\[\Delta W \approx {U_i} \cdot \Delta Q\]
Der Betrag dieser Arbeit \(\Delta W\) ist gleich dem Betrag der Abnahme der elektrischen Energie des Kondensators \(\left| {\Delta {E_{el}}} \right|\):
\[\left| {\Delta {E_{el}}} \right| \approx {U_i} \cdot \Delta Q\]

Summiert man alle Teilbeträge\(\left| {\Delta {E_{el}}} \right|\) bei einer "portionsweisen Entladung des Kondensators auf, so erhält man den Energieinhalt des Kondensators nur näherungsweise, da bei dieser Vorgehensweise angenommen wurde, dass die Kondensatorspannung \({U_i}\) während des Transports der Probeladung von der positiven nur negativen Platte konstant bleibt:
\[{E_{el}} \approx \left| {\Delta {E_{el,1}} + \;.\;.\;.\; + \Delta {E_{el,i}} + \;.\;.\;.\; + \Delta {E_{el,n}}} \right|\]

Will man der Spannungsänderung während des Ladungstransport besser Rechnung tragen, so kann man die Breite \(\Delta Q\) der Rechtecke in nebenstehender Animation verkleinern. Bei sukzessiver Verkleinerung dieser Rechtecksbreite nähert sich die Gesamtfläche dieser Stufenfigur immer mehr der Dreiecksfläche unter der Ursprungsgeraden im \(Q\)-\(U\)-Diagramm. Für diese Fläche, welche nun den Energieinhalt des Kondensators exakt wiedergibt, gilt:

\[{E_{el}} = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot Q \cdot U\;{\rm{mit}}\;\,Q = C \cdot U\;{\rm{folgt}}:\quad {E_{el}} = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot C \cdot {U^2}\]

 

Die Energie des Kondensators kann schließlich auch noch durch die elektrische Feldstärke \(E\) des Kondensatorfeldes (dem eigentlichen Träger der Energie) dargestellt werden.

\[\begin{array}{l}\quad \quad \quad \quad \quad \quad {E_{el}} = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot C \cdot {U^2}\;\\\quad \quad {\rm{mit}}\;C = {\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _r} \cdot \frac{A}{d}\;{\rm{und}}\;U = E \cdot d\;{\rm{folgt:}}\\{E_{el}} = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot {\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _r} \cdot \frac{A}{d} \cdot {\left( {E \cdot d} \right)^2}\quad \Rightarrow \quad {E_{el}} = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot {\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _r} \cdot {E^2} \cdot V\end{array}\]

 

Hinweise:
\({E_{el}}\): Energieinhalt des Kondensators; \(\left[ {{E_{el}}} \right] = 1{\rm{J}}\) \(E\): Feldstärke im Kondensator; \(\left[ E \right] = 1\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}\) \(V\): Volumen des Kondensatorinneren; \(V = A \cdot d\)

Das elektrische Feld einer komplizierteren Ladungsanordnung kann z.B. durch Überlagerung der Felder von Einzelladungen gewonnen werden. Hierzu muss man in jedem Raumpunkt die Feldstärkevektoren der Einzelfelder vektoriell addieren.

Mit Hilfe der Simulationsprogramme können Sie Feldlinien- und Äquipotentiallinienbilder für sehr komplexe Ladungsanordnungen studieren.

 

Im linken Stromkreis befindet sich eine Elektrische Quelle mit der Nennspannung \({U_0}\), ein Umschalter \(S\), ein Widerstand der Größe \(R\) und ein Kondensator mit der Kapazität \(C\). Die technische Stromrichtung wird durch den Pfeil verdeutlicht. Der gestrichelte Teil des Stromkreises wird beim Einschalten des Kondensators noch nicht benötigt.

Durch Umlegen des Umschalters ("Einschalten") wird der Stromkreis geschlossen und damit der Kondensator aufgeladen, wobei der Stromfluss durch den Widerstand begrenzt wird.

Nach genügend langer Zeit ist der Kondensator aufgeladen und trägt die maximale Ladung \({Q_{\max }} = C \cdot \left|{U_0}\right|\). Die Stromrichtung, auf die sich im Folgenden die Darstellung von Stromstärke und Spannungen bezieht, soll nun die gleiche wie beim Einschalten sein, sie wird wieder durch den Pfeil verdeutlicht.

Der rechte Stromkreis unterscheidet sich von dem obigen dadurch, dass der Umschalter \(S\) nun umgelegt ist. Dadurch wird die zum Einschalten angeschlossene Elektrische Quelle im gestrichelten Teil des Stromkreises abgetrennt und dafür ein Kurzschluss im Stromkreis hergestellt ("Ausschalten"), so dass der Strom "zusammenbrechen" kann, wobei der Stromfluss wieder durch den Widerstand begrenzt wird.

Die folgende Animation zeigt den zeitlichen Verlauf von Ladung \({Q_C}(t)\) auf dem Kondensator, Stromstärke \(I(t)\), Spannung \({U_R}(t)\) über dem Widerstand, Spannung \({U_C}(t)\) über dem Kondensator, Leistung \({P_R}(t)\) am Widerstand und Leistung \({P_C}(t)\) am Kondensator sowohl beim Ein- als auch beim Ausschalten. Dabei können der Betrag \({\left| {{U_0}} \right|}\) der Nennspannung der Quelle, die Größe \(R\) des Widerstands sowie die Kapazität \(C\) des Kondensators in gewissen Grenzen verändert werden.

R =
L =
|U0| =
Ein Aus Ein/Aus
QC(t)
I(t)
UR(t) UC(t)
PR(t) PC(t)
HTML5-Canvas nicht unterstützt!

Einschalten des RC-Kreises

Die Ladung \(Q\) auf dem Kondensator steigt exponentiell an, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[Q(t) = {Q_{\max }} \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{RC}} \cdot t}}} \right)\;;\;{Q_{\max }} = C \cdot {\left| {{U_0}} \right|}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(Q\) auf 50% von \({Q_{\max }}\) angestiegen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(Q\) auf ca. 63% von \({Q_{\max }}\) angestiegen.

 


Die Stromstärke \(I\) im Stromkreis fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[I(t) = {I_0} \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\;;\;{I_0} = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(I\) auf 50% von \({I_0}\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(I\) auf ca. 37% von \({I_0}\) abgefallen.

 

Die Spannung \(U_R\) über dem Widerstand fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_R}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(U_R\) auf 50% von \(\left|{U_0}\right|\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(U_R\) auf ca. 37% von \(\left|{U_0}\right|\) abgefallen.

 

Die Spannung \(U_C\) über dem Kondensator steigt exponentiell an, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_C}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}} \right)\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(U_C\) auf 50% von \(\left|{U_0}\right|\) angestiegen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(U_C\) auf ca. 63% von \(\left|{U_0}\right|\) angestiegen.

 

Ausschalten des RC-Kreises

Die Ladung \(Q\) auf dem Kondensator fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[Q(t) = {Q_{\max }} \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\;;\;{Q_{\max }} = C \cdot {\left| {{U_0}} \right|}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(Q\) auf 50% von \({Q_{\max }}\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(Q\) auf ca. 37% von \({Q_{\max }}\) abgefallen.

 


Hinweis: Da der Strom im Stromkreis beim Entladen des Kondensators entgegen der beim Aufladen festgelegten Stromrichtung fließt, ist die Stromstärke theoretisch negativ; dies wird im Experiment oder bei Rechnungen meist stillschweigend vorausgesetzt, und es wird mit positiven Werten gerechnet.

Der Betrag \(\left| I \right|\) der Stromstärke im Stromkreis fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[I(t) =  - {I_0} \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\;;\;{I_0} = \frac{\left| {{U_0}} \right|}{R}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(\left| I \right|\) auf 50% von \({I_0}\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(\left| I \right|\) auf ca. 37% von \({I_0}\) abgefallen.

 

Hinweis: Auch die Spannung, die über dem Widerstand abfällt, ist wegen der negativen Stromstärke theoretisch negativ; auch dies wird im Experiment oder bei Rechnungen meist stillschweigend vorausgesetzt, und es wird mit positiven Werten gerechnet.

Der Betrag \(\left| U_R \right|\) der Spannung über dem Widerstand fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_R}(t) = - {\left| {{U_0}} \right|} \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(\left| U_R \right|\) auf 50% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(\left| U_R \right|\) auf ca. 37% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.

 

Die Spannung \(U_C\) über dem Kondensator fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_C}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(U_C\) auf 50% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(U_C\) auf ca. 37% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.

 

Die Idee, dass elektrische Ladung durch diskrete Teilchen hervorgerufen wird, wurde zuerst 1750 von Benjamin FRANKLIN beschrieben. 1881 erhielten diese Teilchen den Namen Elektronen.

Der nach dem amerikanischen Physiker Robert Andrews MILLIKAN benannte MILLIKAN-Versuch zeigte, dass alle elektrischen Ladungen ganzzahlige Vielfache einer sogenannten Elementarladung, einer kleinstmöglichen  elektrischen Ladung sind; sie ist betragsmäßig gleich der Ladung eines einzelnen Elektrons. Bereits 1910 erhielt MILLIKAN als Wert für die Elementarladung \(1,63 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}}\). Bis zum Jahr 1917 verbesserte er diesen Wert auf \(1,59 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}}\). Heutige Messungen ergeben mit der noch im Prinzip gleichen Versuchsanordnung den Wert \(1,602 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}}\).

Alle elektrischen Ladungen sind ganzzahlige Vielfache der sogenannten Elementarladung \(e = 1,602 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{C}}\). Die elektrische Ladung ist also eine gequantelte Größe.

Die Ladung eines Elektrons beträgt \( - e =  - 1,602 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{C}}\).

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