Kinetische Gastheorie

Wärmelehre

Kinetische Gastheorie

  • Was geschieht eigentlich in einem Gas, das man erwärmt?
  • Wie schnell bewegen sich die Teilchen in einem Gas?
  • Wie funktioniert eine Lichtmühle?
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Das Wichtigste auf einen Blick

Die universelle Gasgleichung lautet \[p \cdot V = k_{\rm B} \cdot N \cdot T\] mit dem Druck \(p\), dem Volumen \(V\), der Boltzmann-Konstanten \(k_{\rm B}\), der Teilchenzahl \(N\) und der Temperatur \(T\). 

Auusgangspunkt "Allgemeine Gasgleichung"

Fasst du das Gesetz von BOYLE-MARIOTTE  \(p \sim \frac{1}{V}\) und das Gesetz von GAY-LUSSAC \(V \sim T\) zusammen, so erhälst du die sog. Allgemeine Gasgleichung:\[(1)\quad V \sim \frac{T}{p}\quad{\rm{bzw.}}\quad\frac{{p \cdot V}}{T}\;{\rm{ist}}\;{\rm{konstant}}\]

Diese Beziehung kennst du vielleicht schon aus der Mittelstufe. Mit der allgemeinen Gasgleichung kannst du beliebige Zustände eines idealen Gases beschreiben, wenn die Anzahl der Gasteilchen dabei gleich bleibt.

Einbezug der Teilchenzahl

Die Teilchenzahl \(N\) ist jedoch nicht immer konstant. Daher ist es wünschenswert auch diese in der Zustandsgleichung zu berücksichtigen. Dazu überlegen wir zunächst in einem Gedankenexperiment, wie die Teilchenzahl \(N\) mit dem Volumen \(V\) zusammenhängt.

Behältst du bei einem idealen Gas den Druck \(p\) und die Temperatur \(T\) konstant und verdoppelst z.B. die Teilchenzahl \(N\), so ist plausibel, dass sich das Gasvolumen ebenfalls verdoppeln wird. Das Volumen \(V\) ist also proportional zur Teilchenzahl \(N\). Es gilt bei konstantem Druck \(p\) und konstanter Temperatur \(T\): \[V \sim N\quad (2)\]

Nun kannst du die beiden Proportionalitäten \((1)\) und \((2)\) zusammefassen. Da \(V\sim \frac{T}{p}\) und \(V\sim N\) gilt auch \(V\sim\frac{T}{p}\cdot N \).

\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{(1)\quad V \sim \frac{T}{p}}\\{(2)\quad V \sim N}\end{array}} \right\} \Rightarrow V \sim \frac{T}{p} \cdot N\]

Einführung der Proportionalitätskonstanten

Durch Einführen einer Proportionalitätskonstanten \(k_{\rm B}\), der sog. Boltzmann-Konstanten, kann der proportionale Zusammenhang in einer Gleichung ausgedrückt werden:\[V\sim k_{\rm B}\cdot \frac{{T}}{p}\cdot N \quad \Leftrightarrow \quad p\cdot V = k_{\rm B}\cdot N\cdot T\]

Dies Gleichung bezeichnet man als die universelle Gasgleichung.

Universelle Gasgleichung

\[p \cdot V = k \cdot N \cdot T\]

Wert der Boltzmann-Konstanten

Stellst du die universelle Gasgleichung nach \(k_{\rm B}\) frei und setzt für die Zustandsgrößen \(T\) und \(p\) die Normalbedingungen (\(T_0 = 273\,\rm{K}\) , \(p_0 = 1013\,\rm{hPa}\)), für \(V\) das Volumen eines Kilomols (\(V_{\rm{kmol}} = 22,4\rm{m^3}\) und für \(N\) die Avogadro-Konstante (\(N_A = 6,022 \cdot 10^{26}\)), so erhälst du den Wert für die BOLTZMANN-Konstante: \[k_{\rm B} = \frac{{{p_0} \cdot {V_{{\rm{kmol}}}}}}{{{N_{\rm{A}}} \cdot {T_0}}} \Rightarrow k_{\rm B} = \frac{{1013 \cdot {{10}^2}\frac{{\rm{N}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} \cdot 22,4{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{6,022 \cdot {{10}^{26}} \cdot 273{\rm{K}}}} = 1,38 \cdot {10^{ - 23}}\frac{{\rm{J}}}{{\rm{K}}}\]

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