Um die "Schnelligkeit" einer Bewegung zu charakterisieren, hat man den Begriff der Geschwindigkeit eingeführt. Bei der gleichförmigen Bewegung - die zunächst wiederholt wird - liegen die Verhältnisse besonders einfach.
Versuch
Ein batteriegetriebener Wagen läuft auf einer Schiene mit Maßstab. Beim Passieren der Nullmarke wird die Uhr eingeschaltet. Die graphische Auswertung der \(t-x-\)Tabelle wird dargestellt.
In allen drei Fällen ergeben sich im \(t-x-\)Diagramm Ursprungsgeraden. Bewegungen von diesem Typ bezeichnet man als geradlinige, gleichförmige Bewegung.
Fährt der Wagen in Richtung der positiven Ortsachse, so besitzt der entsprechende Zeit-Orts-Graph eine positive Steigung. Bei Fahrt in Richtung der negativen x-Achse besitzt der Zeit-Orts-Graph eine negative Steigung.
Je schneller der Wagen ist, desto steiler verläuft die zugehörige Ursprungsgerade.
Bei einer gleichförmigen Bewegung ist der zurückgelegte Weg proportional zur Zeit. Es gilt \(x \sim t\) oder \(x/t=konstant\) (Quotientengleichheit). Man bezeichnet die Konstante als Geschwindigkeit \(v\) der gleichförmigen Bewegung und schreibt:\[v = \frac{x}{t}\;mit\;\left[ v \right] = 1\frac{m}{s}\]Das Zeit-Orts-Gesetz der gleichförmigen Bewegung mit Start im Ursprung lautet dann \[x(t) = v \cdot t\;(1)\]
Hinweise
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\(x(t)\) soll ausdrücken, dass die Ortsangabe \(x\) von der Zeit abhängig ist.
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Aus der Mathematik kennst du die Gleichung einer Ursprungsgeraden \(y(x) = m·x\). In der Beziehung (1) tritt an Stelle von \(y(x)\) der zeitabhängige Ort \(x(t)\); anstelle der Geradensteigung \(m\) (in der Mathematik) die Geschwindigkeit \(v\). Dem \(x\) in der Mathematik entspricht die Zeit \(t\) in der Bewegungsgleichung (1).
Oft drückt man die Geschwindigkeit \(v\) durch eine Wegdifferenz und eine Zeitdifferenz aus. Differenzen werden in der Physik durch den griechischen Buchstaben \(\Delta\) symbolisiert. Für \(v\) kann man dann auch schreiben\[v = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}}\;(2)\]Auch das Steigungsdreieck kann vergrößert oder verschoben werden, der Wert des Quotienten \(v\) bleibt stets gleich.
Startet der Wagen nicht im Ursprung, sondern mit der gleichen Geschwindigkeit wie oben am Ort mit der Koordinate \(x_{0}\), so ergibt sich der nebenstehend skizzierte Zeit-Orts-Graph [Verschiebung des Graphen so, dass er im Punkt \((0\mid x_{0})\) beginnt]. Aufgrund der gleichbleibenden Geschwindigkeit bleibt die Steigung der Geraden erhalten.Das Zeit-Orts-Gesetz lautet dann\[x(t) = {x_0} + v \cdot t\;(3)\]
Hinweis
In der Mathematik hast du die Geradengleichung in der Form: \(y(x)=t+m\cdot x\) kennen gelernt. Dabei bedeutete \(t\) den \(y-\)Achsenabschnitt und \(m\) die Geradensteigung. An die Stelle des \(y\) in der Mathematik tritt in Gleichung (3) die zeitabhängige Ortskoordinate \(x(t)\). Dem \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) entspricht der "Anfangsort" \(x_{0}\) und der Geradensteigung \(m\) die Geschwindigkeit \(v\). Anstelle der Variablen \(x\) in der Mathematik tritt in Gleichung (3) die variable Zeit \(t\).