Der Large Hadron Collider (LHC) ist ein Teilchenbeschleuniger am Europäischen Kernforschungszentrum CERN bei Genf. In einem \(26{,}659\,\rm{km}\) langen Ringtunnel, der sich in 50 bis 175 Metern Tiefe unter der Erde befindet, bewegen sich Protonen oder die Atomkerne von Blei mit unvorstellbar hohen Geschwindigkeiten. Die Teilchen werden dabei von supraleitenden Magneten auf ihrer Bahn gehalten.
a)
Berechne unter der Annahme, dass der Ringtunnel kreisförmig ist, den Durchmesser des Ringtunnels.
b)
Der Ringtunnel muss in regelmäßigen Abständen von Technikern und Ingenieuren kontrolliert werden. Dazu werden unter anderem Fahrräder benutzt.
Berechne die Geschwindigkeit eines Techniker, der für die Fahrt durch den Ringtunnel \(1\,\rm{h}\,40\,\rm{min}\) benötigt.
c)
Die Forscher geben an, dass die Protonen im Ringtunnel eine Geschwindigkeit von \(99{,}9999991\%\) der Lichtgeschwindigkeit erreichen.
Berechne die Geschwindigkeit der Protonen in den Einheiten \(\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\).
d)
Berechne, wie lange ein Proton für einen Umlauf im Ringtunnel benötigt.
Berechne weiter, wie viele Umläufe ein Proton in einer Sekunde schafft.
e)
Im Ringtunnel kreist nicht ein Proton allein, sondern viele Protonen gleichzeitig umher. Diese sind wiederum in Portionen, sogenanten Paketen zusammengefasst. Ein typisches Paket durchfliegt eine Messstelle im Ringtunnel in \(1{,}83 \cdot 10^{-9}\,\rm{s}\).
Gegeben ist der Umfang \(u = 26{,}659\,\rm{km}\) eines Kreises, gesucht dessen Durchmesser \(d\). Man erhält\[u = \pi \cdot d \Leftrightarrow d = \frac{u}{\pi }\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[d = \frac{26{,}659\,\rm{km}}{\pi } = 8{,}486\,\rm{km}\]
b)
Gegeben ist die zu fahrende Strecke \(s=u = 26{,}659\,\rm{km}\) und die benötigte Zeit \(t = 1\,\rm{h}\,40\,\rm{min} = 1\frac{2}{3}\,\rm{h}\), gesucht ist die Geschwindigkeit \(v\). Mit \[s = v \cdot t \Leftrightarrow v = \frac{s}{t}\]ergibt das Einsetzen der gegebenen Werte\[v= \frac{29{,}659\,\rm{km}}{1\frac{2}{3}\,\rm{h}} = 16{,}0\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\]
c)
Aus der Formelsammlung oder dem Internet entnimmt man für die Lichtgeschwindigkeit \(c = 299\,792\,458\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\). Damit erhält man\[v_{\rm{p}} = 99{,}9999991\% \cdot 299\,792\,458\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} = 299\,792\,455\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} = 299\,792\,455 \cdot 3{,}6\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}} = 1\,079\,144\,838\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\]
d)
Gegeben ist die Strecke \(s=u = 26{,}659\,\rm{km}=26\,659\,\rm{m}\) und die Geschwindigkeit \(v=v_{\rm{p}}=299\,792\,455\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\), gesucht die Zeit \(t\). Mit\[s = v \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{s}{v}\]ergibt das Einsetzen der gegebenen Werte\[t = \frac{26\,659\,\rm{m}}{299\,792\,455\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}} = 0{,}000088925\,\rm{s}\]In einer Sekunde schafft ein Proton somit \(N = \frac{1\,\rm{s}}{0{,}000088925\,\rm{s}} = 11\,245\) Umläufe.
e)
Gegeben ist die Geschwindigkeit \(v=v_{\rm{p}}=299\,792\,455\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und die Zeit \(t = 1{,}83 \cdot 10^{-9}\,\rm{s}\), gesucht die Strecke \(s\). Mit\[s = v \cdot t\]ergibt das Einsetzen der gegebenen Werte\[s = 299\,792\,455\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot 1{,}83 \cdot 10^{-9}\,\rm{s} = 0{,}549\,\rm{m} = 54{,}9\,\rm{cm}\]
