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Aufgabe

Ballistisches Pendel

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Ein Holzklotz mit der Masse \(5{,}0\,{\rm{kg}}\) ist an einem Faden als Pendel aufgehängt. Mit einem Gewehr wird eine Kugel mit der Masse \(10\,{\rm{g}}\) in den Klotz geschossen, die dort stecken bleibt. Dabei setzt sich der Klotz in Bewegung und schwingt bis in eine Höhe von \(20\,\rm{cm}\).

a)Berechne die Geschwindigkeit, mit der sich Klotz und Kugel direkt nach dem Stoß bewegen. Rechne mit \({g = 10\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}\). (Kontrollergebnis: \(2{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\))

b)Berechne die Geschwindigkeit, die die Kugel beim Aufprall auf den Klotz hatte und wie viel kinetische Energie durch den Aufprall der Kugel auf den Klotz entwertet wurde.

Hinweis: Bei der Lösung dieser Teilaufgabe kann dir ein Computeralgebrasystem wie z.B. GeoGebra CAS gute Dienste leisten. Mit wenigen Befehlen kannst du die Rechnungen online selbst durchführen.

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Wir nutzen folgende Bezeichnungen: \({{m_1} = {m_1}^\prime = 5{,}0\,{\rm{kg}}}\), \({{m_2} = {m_2}^\prime=10\,{\rm{g}} = 0{,}010\,{\rm{kg}}}\), \(m=m_1+m_2\), \({{v_1} = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\), \(h=20\,\rm{cm}=0{,}20\,\rm{m}\), \({{v_1}^\prime = {v_2}^\prime = {v^\prime}}\).

a)Die kinetische Energie von Klotz und Kugel direkt nach dem Aufprall wird vollständig in potenzielle Energie umgewandelt. Deshalb gilt nach dem Energieerhaltungssatz\[{E_{{\rm{kin,1}}}} = {E_{{\rm{pot,2}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot m \cdot { {v^\prime}^2} = m \cdot g \cdot h \Rightarrow {v^\prime} = \sqrt {2 \cdot g \cdot h} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[ {v^\prime} = \sqrt {2 \cdot 10\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 0{,}20\,{\rm{m}}} = 2{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

b)Bei der Lösung der Aufgabe setzen wir alle Geschwindigkeiten positiv.

Aus dem Impulserhaltungssatz für den vollkommen unelastischen Stoß\[{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} = \left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot {v^\prime } \Leftrightarrow {v_2} = \frac{{\left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot v' - {m_1} \cdot {v_1}}}{{{m_2}}}\]ergibt sich nach Einsetzen der gegebenen Werte\[{v_2} = \frac{{\left( {5{,}0\,{\rm{kg}} + 0{,}010\,{\rm{kg}}} \right) \cdot 2{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 5{,}0\,{\rm{kg}} \cdot 0\, \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{0{,}010\,{\rm{kg}}}} = 1002\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Mit diesem Ergebnis ergibt sich aus dem Energieerhaltungssatz für den vollkommen unelastischen Stoß\[\frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2 = \frac{1}{2} \cdot \left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot {v^\prime }^2 + \Delta E \Leftrightarrow \Delta E = \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2-\frac{1}{2} \cdot \left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot {v^\prime }^2\]nach Einsetzen der gegebenen Größen\[\Delta E = \frac{1}{2} \cdot 5{,}0\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot 0{,}010\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {1002\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} - \frac{1}{2} \cdot \left( {5{,}0\,{\rm{kg}} + 0{,}010\,{\rm{kg}}} \right) \cdot {\left( {2{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} = 5010\,{\rm{J}}\]

Die Lösung der Teilaufgabe mit GeoGebra findest du hier.