Widerstand & spez. Widerstand

Elektrizitätslehre

Widerstand & spez. Widerstand

  • Warum springt bei zu vielen Verbrauchern die Sicherung heraus?
  • Haben Batterien auch einen Widerstand?
  • Warum springt im Winter manchmal das Auto nicht an?

OHMsches Gesetz

Das Experiment zeigt, dass bei vielen elektrischen Leitern die Spannung \(U\), die über dem Leiter abfällt, proportional ist zur Stärke \(I\) des Stroms, der durch den Leiter fließt.

Diese Proportionalität bezeichnet man als das OHMsche Gesetz und beschreibt sie durch die Gleichung \(U = R \cdot I\).

Den Proportionalitätsfaktor \(R\) bezeichnet man als elektrischen Widerstand. Seine Maßeinheit ist \(1\,\Omega\) (Ohm).

Im Alltag oder im Physikunterricht hast du bestimmt bereits folgende Beobachtungen gemacht:

Wenn der Spannungswert auf einer Glühlampe (z.B. \(4{,}5\,\rm{V}\)) mit dem Spannungswert auf der Batterie übereinstimmt, so leuchtet die Glühlampe in der gewünschten Helligkeit: Durch den Glühfaden fließt gerade so viel Strom, dass der Glühfaden leuchtet.

Ist der Spannungswert auf der Batterie aber zu klein (z.B. nur \(1{,}5\,\rm{V}\)), so leuchtet die Glühlampe nur noch schwach: Durch den Glühfaden fließt nicht mehr genug Strom, um ihn stark genug zu erhitzen.

Ist die Spannungswert auf der Batterie dagegen zu groß (z.B. nun  \(9\,\rm{V}\)), so brennt die Glühlampe durch: Durch den Glühfaden fließt so viel Strom, dass dieser zu stark erhitzt wird und schmilzt.

Aus diesen Beobachtungen kannst du erkennen, dass die Stärke des Stroms, der durch einen elektrischen Leiter fließt, von der Spannung der elektrischen Quelle, die man an den Leiter anschließt abhängt.

ohmsches-gesetz-ii-diagramm.svg
Abb.
1
Zusammenhang zwischen Stromstärke \(I\) und Spannung \(U\) bei einem OHMschen Widerstand

Diesen Zusammenhang untersuchen wir im Experiment genauer, indem wir für verschiedene Stromstärken \(I\) jeweils die Spannung \(U\) messen, die über einem elektrischen Leiter abfällt. Tragen wir die Spannung \(U\) gegen die Stromstärke \(I\) auf, so zeigt sich, dass die Messwerte im \(I\)-\(U\)-Diagramm auf einer Ursprungsgeraden liegen (vgl. Abb. 1). Dies bedeutet, dass die Spannung \(U\), die über dem Leiter abfällt, proportional ist zur Stärke \(I\) des Stroms, der durch den Leiter fließt.

Diese Proportionalität zwischen der Spannung \(U\) und der Stromstärke \(I\) bezeichnet man nach dem deutschen Physiker Georg Simon OHM (1789 - 1854) als das OHMsche Gesetz. Wir beschreiben es durch die Gleichung\[U = R  \cdot I\]Den Proportionalitätsfaktor \(R\) bezeichnet man als elektrischen Widerstand. Für seine Maßeinheit gilt\[\left[ R \right] = \frac{{\left[ U \right]}}{{\left[ I \right]}} = \frac{{1\,{\rm{V}}}}{{1\,{\rm{A}}}} = 1\,\frac{{\rm{V}}}{{\rm{A}}} =: 1\,{\Omega}\quad{\rm{(Ohm)}}\]

Tatsächlich gilt diese Proportionalität nur in engem Rahmen von Spannung und Stromstärke und nur für einige Stoffe – insbesondere für Metalle unter der Voraussetzung konstanter Temperatur. Dennoch ist diese Gesetzmäßigkeit die Basis für das Verständnis der Zusammenhänge zwischen Spannung und Stromstärke in elektrischen Stromkreisen.

Elektrische Leiter, die dem OHMschen Gesetz folgen, nennt man OHMsche Widerstände oder OHMsche Leiter.

OHMsches Gesetz

Das Experiment zeigt, dass bei vielen elektrischen Leitern die Spannung \(U\), die über dem Leiter abfällt, proportional ist zur Stärke \(I\) des Stroms, der durch den Leiter fließt. Diese Proportionalität bezeichnet man nach dem deutschen Physiker Georg Simon OHM (1789 - 1854) als das OHMsche Gesetz. Wir beschreiben es durch die Gleichung\[U = R \cdot I\]Den Proportionalitätsfaktor \(R\) bezeichnet man als elektrischen Widerstand. Seine Maßeinheit ist \(1\,\Omega\) (Ohm).

Elektrische Leiter, die dieser Proportionalität folgen, nennt man OHMsche Widerstände oder OHMsche Leiter.

2 Beobachte, wie das OHMsche Gesetz bei einer einfachen Schaltung funktioniert. Stelle Spannung und Widerstand ein und beobachte den Strom, der sich entsprechend dem OHMschen Gesetz einstellt.

Die schöne Animation von PhET in Abb. 2 macht sehr anschaulich klar, wie die drei Größen Spannung, Widerstand und Stromstärke in einem Stromkreis miteinander zusammenhängen.

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zum OHMschen Gesetz zu lösen musst du häufig die Gleichung \(U = R \cdot I\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{{U}} = {{R}} \cdot {{I}}\]ist bereits nach \(\color{Red}{{U}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{{U}} = \color{Red}{{R}} \cdot {{I}}\]nach \(\color{Red}{{R}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[\color{Red}{{R}} \cdot {{I}} = {{U}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{I}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{I}}\) im Nenner steht.
\[\frac{\color{Red}{{R}} \cdot {{I}}}{{{I}}} = \frac{{{U}}}{{{I}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{I}}\).\[\color{Red}{{R}} = \frac{{{U}}}{{{I}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{R}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{{U}} = {{R}} \cdot \color{Red}{{I}}\]nach \(\color{Red}{{I}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{{R}} \cdot \color{Red}{{I}} = {{U}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{R}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{R}}\) im Nenner steht.
\[\frac{{{R}} \cdot \color{Red}{{I}}}{{{R}}} = \frac{{{U}}}{{{R}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{R}}\).\[\color{Red}{{I}} = \frac{{{U}}}{{{R}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{I}}\) aufgelöst.
3 Schrittweises Auflösen der Formel für das OHMsche Gesetz nach den drei in der Formel auftretenden Größen
Wie du schon mehrmals bei Versuchen sehen konntest, hängt die in einem bestimmten Stromkreis sich ergebende Stromstärke von der angelegten Spannung ab.
Bei fester Spannung wird die Stromstärke auch noch dadurch bestimmt, wie stark die "Hemmung" des Elektronenflusses durch den Kreis ist. Die folgenden drei Bilder zeigen, dass drei oder zwei Lämpchen den Fluss mehr hemmen als nur ein Lämpchen. Zur Beschreibung dieser Eigenschaft eines Stromkreises oder eines einzelnen Schaltelements hat man in der Physik den Begriff Widerstand (Symbol \(R\)) eingeführt.

Hinweis

Wir haben zur Veranschaulichung des elektrischen Stromkreises wiederholt das Wasserkreismodell herangezogen. Bezüglich des "Widerstands" eines Wasserkreises kann man analoge Beobachtungen machen:

  • Die Wasserstromstärke in einem bestimmten Wasserstromkreis hängt davon ab, wie groß der "Druck" ist, mit dem das Wasser durch die Leitungen gepresst wird.
  • Bei festem Wasserdruck hängt die Wasserstromstärke davon ab, wie z.B. die Leitungen beschaffen sind (Rohre mit rauher Innenseite werden den Wasserstrom mehr hemmen als z.B. glatt polierte Rohre).

Für die Festlegung der Größe Widerstand geht man von den folgenden, plausiblen Vereinbarungen aus:

  • Derjenige von zwei Stromkreisen, der bei gleicher Spannung einen kleineren Strom zulässt, hat den größeren Widerstand.
  • Derjenige von zwei Kreisen, bei dem zur Erzielung einer bestimmten Stromstärke eine größere Spannung erforderlich ist, hat den größeren Widerstand.

Durch die folgende Definition des elektrischen Widerstands wird den obigen Vereinbarungen entsprochen:

Definition des elektrischen Widerstands

Georg Simon OHM (1789 - 1854)
von BerndGehrmann at de.wikipedia [Public domain], vom Wikimedia Commons

Als elektrischen Widerstand \(R\) eines Leiters definieren wir den Quotienten aus der Spannung \(U\), die über dem Leiter abfällt und der Stärke \(I\) des Stroms, der durch den Leiter fließt:\[{{\rm{elektrischer\;Widerstand\; = }}\;\frac{{{\rm{abfallende\;Spannung}}}}{{{\rm{Stärke\,des\,fliessenden\;Stroms}}}}}\]oder kurz\[{R = \frac{U}{I}}\]Für die Maßeinheit \({\left[ R \right]}\) des elektrischen Widerstands gilt folglich\[{\left[ R \right] = \frac{{\left[ U \right]}}{{\left[ I \right]}} = \frac{{{\rm{1\,V}}}}{{{\rm{1\,A}}}} = 1\,\frac{{\rm{V}}}{{\rm{A}}} = :1\,\Omega }\;(\rm{Ohm})\]Gebräuchliche Unter- bzw. Obereinheiten des elektrischen Widerstands sind

\(1\) Milliohm: \(1\,{\rm{m\Omega }} =\frac{1}{{1000}}\,\Omega = 0{,}001\,\Omega  = {10^{ - 3}}\,\Omega\)

\(1\) Kiloohm: \(1\,{\rm{k\Omega }} = 1000\,\Omega  = {10^{3}}\,\Omega \)

\(1\) Megaohm: \(1\,{\rm{M\Omega }} = 1000000\,\Omega  = {10^{6}}\,\Omega \)

Beachte, dass der Widerstand eines Leiters für verschiedene Spannungen bzw. Stromstärken unterschiedlich sein kann (Beispiel: Glühlampe). Leiter mit einem Widerstand, der für einen größeren Bereich konstant ist, bezeichnet man als OHMsche Leiter.

1 Erfahre mehr über die Physik des elektrischen Widerstands in einem Draht. Ändere den spezifischen Widerstand, die Länge und den Querschnitt des Drahtes und beobachte den Einfluß auf den Widerstand des Drahtes.

Hinweis: Die Länge des Kabels, von uns meist mit  \(l\) bezeichnet, ist hier mit dem Großbuchstaben \(L\) bezeichnet.

Bei unseren Betrachtungen und Berechnungen in Stromkreisen gingen wir stillschweigend von einer stark vereinfachenden Annahme über die verwendeten elektrischen Quellen aus.

Wird an eine elektrische Quelle (z.B. eine Batterie) ein Potentiometer (variabler Widerstand) angeschlossen, so fließt ein Strom, dessen Stärke von der Spannung der Batterie und dem eingestellten Widerstandswert abhängt. Je kleiner der Widerstandswert des Potentiometers wird, desto größer ist der im Kreis fließende Strom (bei fester Spannung der Quelle). Dabei waren beim Strom nach oben scheinbar keine Grenzen gesetzt.

Tatsächlich hast du vielleicht schon bei Experimenten mit Batterien die Erfahrung gemacht, dass "grenzenlose" Ströme in der Realität nicht vorkommen.

Eine weitere Erscheinung, die dir vielleicht auch schon bekannt ist: Wenn ein Autofahrer nach einer kalten Winternacht sein Auto starten will, kann es bei einem schlecht gewarteten Akku vorkommen, dass der Motor nicht anspringt. Aufgrund der "zusammenbrechenden" Spannung des Akkus gibt der Anlasser des Motors klägliche Geräusche von sich und versagt schließlich ganz seinen Dienst.

Das Zusammenbrechen der Akkuspannung beim Anlassen des Autos und die nicht möglichen "grenzenlosen" Ströme bei einer Batterie haben ihre gemeinsame Ursache in einer Eigenschaft von elektrischen Quellen, dem Innenwiderstand.

Schon am Aufbau von Batterien oder Akkus mit ihrem Elektrolyten wird einem klar, dass auch elektrische Quellen einen Widerstand besitzen müssen. Man nennt diesen Widerstand "Innenwiderstand. Dies gilt übrigens auch für andere elektrische Quellen, wie Dynamo, Netzgerät usw.

Unbelastete Spannungsquelle
Ein sinnvolles Ersatzschaltbild für eine reale elektrische Quelle ist in dem nebenstehenden Bild dargestellt. Es besteht aus einer idealen elektrischen Quelle mit der Spannung U0 (Leerlaufspannung) und dem Innenwiderstand Ri. Die Spannung zwischen den Anschlüssen der Quelle bezeichnet man als Klemmenspannung Ukl.

Nach der Maschenregel gilt:

\[{U_{kl}} + I \cdot {R_i} = {U_0}\]

Solange an die reale Spannungsquelle kein äußerer Kreis angeschlossen ist, durch den Strom fließt, ist I = 0 (Leerlauf). In diesem Fall gilt:

\[{U_{kl}} = {U_0}\]

Bei unbelasteter realer Spannungsquelle ist die Leerlaufspannung U0 gleich der Klemmenspannung Ukl.


Belastete Spannungsquelle
Nun wird ein äußerer Widerstand Ra an die reale Spannungsquelle angeschlossen. Für die Klemmenspannung gilt dann:

\[{U_0} = I \cdot {R_i} + {U_{kl}}\quad \Rightarrow \quad {U_{kl}} = {U_0} - I \cdot {R_i}\]

Bei belasteter realer Spannungsquelle unterscheidet sich die Klemmenspannung Ukl umso mehr von der Leerlaufspannung U0, je höher der Innenwiderstand der Quelle und je höher der Strom ist.

Hinweis:
Die obige Formel erklärt das Absinken der Akkuspannung, wenn der Anlasser des Autos betätigt wird. Schlecht geladene und kalte Akkus haben einen relativ hohen Innenwiderstand. Dagegen hat ein intakter Akku einen Innenwiderstand unter 0,1 Ω.

Der Maximalstrom (Kurzschlussstrom) ist dann erreicht, wenn die Klemmenspannung auf den Wert Null "zusammengebrochen" ist:

\[\begin{array}{l}{U_{kl}} = {U_0} - I \cdot {R_i}\quad \Rightarrow \quad 0 = {U_0} - {I_{\max }} \cdot {R_i}\\\quad \quad \quad \Rightarrow \quad {I_{\max }} = \frac{{{U_0}}}{{{R_i}}}\end{array}\]

Hinweis:
Die letzte Formel erklärt, warum z.B. aus einer Batterie nicht beliebig hohe Ströme entnommen werden können.
 

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