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Aufgabe

Fernübertragung Lauffen-Frankfurt

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Hinweis: Diese Aufgabe ist nur dann vollständig lösbar, wenn man über den spezifischen elektrischen Widerstand Bescheid weiß.

In Lauffen am Neckar trieb eine Wasserturbine einen Generator an, der drei Induktionsspulen enthielt. Zwischen ihren Enden trat jeweils eine Wechselspannung von \(55{\rm{V}}\) auf. Jede dieser Spannungen wurde im Verhältnis \(1:160\) hochtransformiert und an \(175{\rm{km}}\) lange Fernleitungen gelegt, die von Lauffen über Heilbronn und Hanau nach Frankfurt am Main führten. Zur Vereinfachung betrachten wir nur eine Generatorspule und nehmen an, dass ihre abgegebene elektrische Leistung von \(44{\rm{kW}}\) in eine Doppelleitung, die aus \(4,0{\rm{mm}}\) dicken Kupferdrähten bestand, eingespeist wurde.

Anmerkung: Die drei Induktionsspulen des Lauffener Generators waren um \(120^\circ \) gegeneinander versetzt. Jede Spule lieferte Wechselstrom. Aber die Spulen waren jeweils an einem Ende miteinander verbunden. Damit erreichte man, dass für den Energietransport nicht sechs oder bloß vier, sondern sogar nur drei Einzelleitungen benötigt wurden. Der Generator war ein Drehstromgenerator und der Strom, den die drei Fernleitungen führten, Drehstrom. Der Transport elektrischer Energie mit Drehstrom anlässlich der Frankfurter Elektrizitätsausstellung im Jahre 1891 war die Pionierleistung dreier Ingenieure aus Deutschland und der Schweiz. Oskar von MILLER (1855-1934), Michael von DOLIVO-DOBROVOLSKI (1862-1919) und Charles Eugéne Lancelot BROWN (1863 1924) erbrachten damals den Beweis, dass der Transport elektrischer Energie mit Drehstrom praktisch durchführbar ist und technische wie wirtschaftliche Vorzüge hat. Bei uns und in vielen anderen Ländern hat sich das Drehstromnetz durchgesetzt.

a)Berechne die Spannung, auf die die Generatorspannung hochtransformiert wurde.

b)Berechne die Stromstärken im Generatorstromkreis und in der Fernleitung.

c)Berechne den Widerstand der Fernleitung. (\({{\rho _{{\rm{Cu}}}} = 0,017\frac{{\Omega  \cdot {\rm{m}}{{\rm{m}}^2}}}{{\rm{m}}}}\))

d)Berechne, welche elektrische Leistung in der Fernleitung verloren ging und wie viel Prozent der von der Generatorspule abgegebenen Leistung das waren.

e)Untersuche, auf welche Hochspannung man die Generatorspannung hätte transformiert müssen, damit der Verlust durch elektrische Arbeit an der Fernleitung nur \(3\% \) betragen hätte. Erläutere, welche anderen Verluste dann aufgetreten wären.

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a)Berechnung der Sekundärspannung \({U_{\rm{S}}}\):\[\frac{{{U_{\rm{P}}}}}{{{U_{\rm{S}}}}} = \frac{1}{{160}} \Leftrightarrow {U_{\rm{S}}} = 160 \cdot {U_{\rm{P}}} \Rightarrow {U_{\rm{S}}} = 160 \cdot 55{\rm{V}} = 8,8{\rm{kV}}\]

b)Berechnung der Stromstärke \({I_{\rm{G}}}\) im Generatorkreis:\[P = {I_{\rm{G}}} \cdot {U_{\rm{G}}} \Leftrightarrow {I_{\rm{G}}} = \frac{P}{{{U_{\rm{G}}}}} \Rightarrow {I_{\rm{G}}} = \frac{{44 \cdot {{10}^3}{\rm{W}}}}{{55{\rm{V}}}} = 8,0 \cdot {10^2}{\rm{A}} = 800{\rm{A}}\]Berechnung der Stromstärke \({I_{\rm{L}}}\) in der Fernleitung:\[\frac{{{I_{\rm{L}}}}}{{{I_{\rm{G}}}}} = \frac{1}{{160}} \Leftrightarrow {I_{\rm{L}}} = \frac{{{I_{\rm{G}}}}}{{160}} \Rightarrow {I_{\rm{L}}} = \frac{{800{\rm{A}}}}{{160}} = 5,0{\rm{A}}\]

c)Berechnung des Widerstands \(R\) der Fernleitung:\[R = \frac{{\rho  \cdot l}}{A} = \frac{{\rho  \cdot l}}{{\pi  \cdot {{\left( {\frac{d}{2}} \right)}^2}}} \Rightarrow R = \frac{{0,017\frac{{\Omega  \cdot {\rm{m}}{{\rm{m}}^2}}}{{\rm{m}}} \cdot 2 \cdot 175 \cdot {{10}^3}{\rm{m}}}}{{\pi  \cdot {{\left( {\frac{{4,0{\rm{mm}}}}{2}} \right)}^2}}} = 4,7 \cdot {10^2}\Omega  = 470\Omega \]

d)Berechnung der Verlustleistung \(P_{\rm{V}}\) der Fernleitung:\[{P_{\rm{V}}} = {I^2} \cdot R \Rightarrow {P_{\rm{V}}} = {\left( {5,0{\rm{A}}} \right)^2} \cdot 4,7 \cdot {10^2}\Omega  = 1,2 \cdot {10^4}{\rm{W}} = 12{\rm{kW}}\]Dies ist prozentual\[p\%  = \frac{{12{\rm{kW}}}}{{44{\rm{kW}}}} = 27\% \]

e)Die Verlustleistung \({P_{\rm{V}}}^*\) beträgt \(3\% \) von \({44{\rm{kW}}}\), also \({1,3{\rm{kW}}}\). Daraus ergäbe sich folgender Strom \({I^*}\) in der Fernleitung:\[{P_{\rm{V}}}^* = {I^*}^2 \cdot R \Rightarrow {I^*} = \sqrt {\frac{{{P_{\rm{V}}}^*}}{R}}  \Rightarrow {I^*} = \sqrt {\frac{{1,3{\rm{kW}}}}{{4,7 \cdot {{10}^2}\Omega }}}  = 1,7{\rm{A}}\]Daraus ergäbe sich ein Übersetzungsverhältnis von\[\frac{{800{\rm{A}}}}{{1,7{\rm{A}}}} = \frac{{471}}{1}\]und die Spannung hätte auf\[\frac{{{U_{\rm{S}}}}}{{{U_{\rm{P}}}}} = \frac{{465}}{1} \Leftrightarrow {U_{\rm{S}}} = 465 \cdot {U_{\rm{P}}} \Rightarrow {U_{\rm{S}}} = 465 \cdot 55{\rm{kV}} = 26{\rm{kV}}\]hochtransformiert werden müssen. Es hätte beim Transformieren höhere Verluste gegeben, außerdem wären die Baukosten angestiegen.