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Aufgabe

Metallplatte im Plattenkondensator

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Ein Plattenkondensator mit \(A = 4,0{\rm{dm^2}}\) und Plattenabstand \(d = 4,0 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{m}}\) wird nach dem Aufladen von der Spannungsquelle mit \(U = 3,0{\rm{kV}}\) getrennt.

a)Berechnen Sie den Energieinhalt des luftgefüllten Kondensators.

 

Nun wird in den Kondensator parallel zu den Platten eine \(1,0{\rm{mm}}\) dicke Metallplatte (\(A = 4,0{\rm{dm^2}}\)) so eingeführt, dass sie ganz im Kondensatorfeld ist.

b)Berechnen Sie die Abnahme \(\Delta E\) der Feldenergie, sowie die neue Feldstärke \(E'\) in den Bereichen I, II und III.

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a)Berechnung der Ladung auf den Platten:\[Q = C \cdot U = Q = {\varepsilon _0} \cdot \frac{{\rm A}}{d} \cdot U\]Einsetzen der gegebenen Werte ergibt\[Q = 8,85 \cdot {10^{ - 12}} \cdot \frac{{4,0 \cdot 1{0^{ - 2}}}}{{4,0 \cdot {{10}^{ - 3}}}} \cdot 3,0 \cdot 1{0^3}{\rm{As}} \approx 2,66 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{As}}\]Berechnung der Energie des Kondensators:\[{E_{el}} = \frac{1}{2} \cdot Q \cdot U\, \Rightarrow {E_{el}} = \frac{1}{2} \cdot 2,66 \cdot 1{0^{ - 7}} \cdot 3,0 \cdot 1{0^3}{\rm{J}} \approx 4,0 \cdot {10^{ - 4}}{\rm{J}}\]

b)Da die Platten von der Spannungsquelle getrennt sind, sitzt auf ihnen noch die gleiche Ladung wie in Teilaufgabe a).

Im Inneren der in den Kondensator eingeführten Metallplatte herrscht kein elektrisches Feld, d.h. dass auch keine elektrische Energie in der Metallplatte vorliegt. Somit ist die Energie in den beiden Bereichen I und III zu bestimmen:\[{E_I} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{Q^2}}}{{{C_I}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{Q^2} \cdot {d_I}}}{{{\varepsilon _0} \cdot A}}\]\[{E_{III}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{Q^2}}}{{{C_{III}}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{Q^2} \cdot {d_{III}}}}{{{\varepsilon _0} \cdot A}}\]
Für die Gesamtenergie gilt dann\[{E_{ges}} = {E_I} + {E_{III}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{Q^2} \cdot \left( {{d_I} + {d_{III}}} \right)}}{{{\varepsilon _0} \cdot A}}\]Einsetzen der gegebenen Werte ergibt\[{E_{ges}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{{\left( {2,66 \cdot {{10}^{ - 7}}} \right)}^2} \cdot 3,0 \cdot 1{0^{ - 3}}}}{{8,85 \cdot 1{0^{ - 12}} \cdot 4,0 \cdot 1{0^{ - 2}}}}{\rm{J}} \approx 3,0 \cdot {10^{ - 4}}{\rm{J}}\]Die elektrische Energie des Kondensators nimmt also um \(1,0 \cdot {10^{ - 4}}{\rm{J}}\) ab.