Abb. 1 Sehr rauhe Oberfläche eines Superkondensators mit Doppelschicht
Bei einem bestimmten Typ sogenannter Superkondensatoren bestehen die beiden Elektroden aus einem sehr rauen Material. Zwischen den Elektroden befindet sich eine Elektrolytlösung mit entgegengesetzt geladenen Ionen. Durch Anlegen einer Spannung bildet sich an jeder Elektrodenoberfläche eine Doppelschicht von entgegengesetzt geladenen Ionen. Jede dieser Doppelschichten entspricht einem geladenen Kondensator (vgl. Abb. 1).
In dieser Aufgabe wird ein solcher Superkondensator, der in einem zylinderförmigen Gehäuse eingebaut ist, mit einem luftgefüllten Plattenkondensator verglichen.
a)
Nenne die geometrischen Größen, von denen die Kapazität eines Plattenkondensators abhängt.
Beschreibe, mit welchen Mitteln bei einem Plattenkondensator eine möglichst hohe Kapazität erreicht wird.
Erkläre die Umsetzung bei dem oben beschriebenen Superkondensator. (6 BE)
Verwende für die weiteren Teilaufgaben folgende Daten:
beide Kondensatoren: Kapazität \(C=3{,}4\cdot 10^3\,\rm{F}\); max. Spannung \(U=2{,}85\,\rm{V}\)
nur Plattenkondensator: Plattenabstand \(d=10\,\rm{nm}\)
nur Superkondensator: Zylinderradius \(r=3{,}0\,\rm{cm}\); Zylinderhöhe \(h=17{,}5\,\rm{cm}\);
Masse \(m=550\,\rm{g}\); Auf- und Entladedauer \(t=30\,\rm{s}\)
b)
Berechne die maximal in diesen Kondensatoren gespeicherte elektrische Energie. [zur Kontrolle: \(14\,\rm{kJ}\)] (3 BE)
c)
Berechne den Flächeninhalt einer Platte des Plattenkondensators.
Vergleiche diesen mit der Größe eines Fußballfeldes. [zur Kontrolle: \(3{,}8\,\rm{km^2}\)] (6 BE)
d)
Weise nach, dass ein solcher Plattenkondensator auch gefaltet oder aufgerollt nicht im angegebenen Gehäuse des Superkondensators Platz findet. (5 BE)
e)
Zeige, dass für die elektrische Feldstärke im Inneren eines luftgefüllten Plattenkondensators gilt: \(E=\sqrt{\frac{2 \cdot W_{\rm{el}}}{\epsilon_0\cdot V}}\), dabei ist \(W_{\rm{el}}\) der Energieinhalt des Kondensators und \(V\) das Volumen zwischen den Kondensatorplatten. (6 BE)
f)
Eine Schülerin schätzt die Feldstärke im Superkondensator ab, indem sie in obige Formel das Volumen des Zylinders einsetzt.
Entscheide begründet, ob die wirkliche Feldstärke größer oder kleiner als der so berechnete Wert ist. (3 BE)
g)
Bei Elektroautos möchte man im Stadtverkehr die kinetische Energie, die beim Bremsen frei wird, speichern und für den Beschleunigungsvorgang wiederverwenden.
Untersuche mithilfe geeigneter Rechnungen oder Abschätzungen sowie unter Berücksichtigung deiner bisherigen Ergebnisse und der oben angegebenen Daten, ob hier ein Einsatz von Superkondensatoren sinnvoll ist
Fasse deine Argumente in einer kurzen Stellungnahme zusammen. (6 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)
Die Kapazität eines Plattenkondensators hängt vom Flächeninhalt \(A\) der Platten und dem Plattenabstand \(d\) ab.
Dabei gilt: Je größer der Flächeninhalt \(A\) der Platten, desto größer ist die Kapazität \(C\). Beim Superkondensator sorgt die sehr rauhe Oberfläche für eine besonders große Oberfläche und somit eine hohe Kapazität. Weiter gilt: Je kleiner der Plattenabstand \(d\), desto größer ist die Kapazität \(C\) des Kondensators. Beim Superkondensator entspricht dieser Abstand dem Abstand zwischen den Ionen der Doppelschicht. Somit ist der Abstand \(d\) sehr klein, was ebenfalls für eine sehr hohe Kapazität sorgt.
b)
Für die in einem Plattenkondensator gespeicherte Energie \(E\) gilt\[E=\frac{1}{2}\cdot C\cdot U^2\]Mit den gegebenen Werten für \(C\) und \(U\) folgt (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[E=\frac{1}{2}\cdot 3{,}4\cdot 10^3\,\rm{F}\cdot (2{,}85\,\rm{V})^2=1{,}4 \cdot 10^{4}\,\rm{J}=14\,\rm{kJ}\]
c)
Für die Kapazität eines luftgefüllten Plattenkondensators gilt\[C=\epsilon_0\cdot \frac{A}{d}\]Auflösen nach dem Flächeninhalt \(A\) ergibt\[A=\frac{C\cdot d}{\epsilon_0}\]und Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[A=\frac{3{,}4\cdot 10^3\,\rm{F}\cdot 10\cdot 10^{-9}\,\rm{m}}{8{,}854\cdot 10^{-12}\,\rm{\frac{A\cdot s}{V\cdot m}}}=3{,}8 \cdot 10^{6}\,\rm{m}^2=3{,}8\,\rm{km}^2\]Ein Fußballfeld hat etwa eine Länge von \(l=100\,\rm{m}\) und eine Breite von etwa \(b=65\,\rm{m}\) und somit einen Flächeninhalt von\[A_{\rm{Feld}}=l\cdot b\Rightarrow A_{\rm{Feld}}=100\,\rm{m}\cdot 65\,\rm{m}=6500\,\rm{m^2}\]Somit entspricht die Größe des Plattenkondensators etwa der Fläche von \(\frac{3800000\,\rm{m}^2}{6500\,\rm{m}^2}\approx 580\) Fußballfeldern.
d)
Das Gehäuse des Superkondensators ist ein Zylinder. Sein Volumen berechnet sich mittels \(V_{\rm{Z}}=\pi\cdot r^2\cdot h\). So ergibt sich (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[V_{\rm{Z}}=\pi\cdot (3{,}0 \cdot 10^{-2}\,\rm{m})^2\cdot 0{,}175\,\rm{m}=0{,}00049\,\rm{m}^3\]Beim Plattenkondensator muss, auch wenn er gefaltet oder aufgerollt wird, der Abstand zwischen den Kondensatorplatten erhalten bleiben. Damit ist das Volumen des Plattenkondensators selbst bei vernachlässigter Plattenstärke mindestens so groß wie das Volumen des Plattenzwischenraumes. Für diesen gilt\[V_{P}=A\cdot d\Rightarrow V_{P}=3{,}8\cdot 10^6\,\rm{m}^2 \cdot 10\cdot 10^{-9}\,\rm{m}=0{,}038\,\rm{m}^3\]Da \(V_{\rm{P}}>V_{\rm{Z}}\) ist, passt der Plattenkondensator auch aufgerollt oder gefaltet nicht in das Gehäuse des Superkondensators.
e)
Für die elektrische Feldstärke im luftgefüllten Plattenkondensator gilt allgemein\[E=\frac{U}{d}\quad (1)\]Für den Energieinhalt des Plattenkondensators gilt \[E_{\rm{el}}=W_{\rm{el}}=\frac{1}{2}\cdot C\cdot U^2\]Mit \(C=\epsilon_0\cdot \frac{A}{d}\) folgt\[W_{\rm{el}}=\frac{1}{2}\cdot \epsilon_0\cdot \frac{A}{d}\cdot U^2\quad (2)\]Umformen von \(\left(1\right)\) nach \(U=E\cdot d\) und Einsetzen in \(\left(2\right)\) führt zu\[W_{\rm{el}}=\frac{1}{2}\cdot \epsilon_0\cdot \frac{A}{d}\cdot (E\cdot d)^2=\frac{1}{2}\cdot \epsilon_0\cdot {A}\cdot d\cdot E^2\]\(A\cdot d\) entspricht dem Volumen \(V\), es ist also\[W_{\rm{el}}=\frac{1}{2}\cdot \epsilon_0\cdot V\cdot E^2\]Auflösen nach der elektrischen Feldstärke \(E\) ergibt den zu bestätigenden Ausdruck\[E=\sqrt{\frac{2\cdot W_{\rm{el}}}{\epsilon_0\cdot V}}\]
f)
In der Formel \(E=\sqrt{\frac{2\cdot W_{\rm{el}}}{\epsilon_0\cdot V}}\) aus der vorherigen Teilaufgabe steht das Volumen \(V\) für das Volumen des Plattenzwischenraumes. Dieses ist jedoch deutlich kleiner als das Volumen des gesamten Zylinders. Daher ist die wirkliche Feldstärke größer als der so berechnete Wert.
g)
Im Stadtverkehr bremst man beispielsweise vor einer Ampel von \(50\,\rm{\frac{km}{h} \approx 14\,\rm{\frac{m}{s}}\) bis zum Stillstand ab. Hierbei sollte im Idealfall die gesamte kinetische Energie des Autos in elektrische Energie umgewandelt und gespeichert werden können. Für diese Energie gilt bei einem Auto mit der Masse \(m=1{,}2\,\rm{t}\)\[\Delta E=\frac{1}{2}\cdot m\cdot \Delta v^2\Rightarrow \Delta E=\frac{1}{2}\cdot 1200\,\rm{kg}\cdot \left(14\,\rm{\frac{m}{s}}\right)^2=117600\,\rm{J}\approx 120\,\rm{kJ}\]Diese Energiemenge kann auf etwa \(\frac{120\,\rm{kJ}}{14\,\rm{kJ}}\approx 9\) Superkondensatoren gespeichert werden.
Jedoch dauert ein typischer Bremsvorgang weniger als \(t=30\,\rm{s}\), was als Ladezeit für die Superkondensatoren angegeben ist. Entsprechend werden mehr als 9 Kondensatoren benötigt, um die Energie in einer kürzeren Zeitspanne zu speichern.
Da jedoch ihr Platzbedarf gering ist und auch ihre Masse mit \(m=550\,\rm{g}\) im Vergleich zum Gesamtgewicht sehr gering ist, könnte man auch problemlos z.B. 50 Superkondensatoren verbauen. Die Kondensatoren könnten also in Elektroautos sinnvoll eingesetzt werden.
