Wir bezeichnen den Radius des Öltröpfchens mit \(r\), dessen Masse mit \(m\) und dessen Ladung mit \(q\). Dann gilt zuerst einmal für die Masse des Öltröpchens\[m=\rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \quad (1)\]Beim Fallen des Öltröpfchens wirken auf dieses die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) mit \(F_{\rm{G}} = m \cdot g\) nach unten und die STOKESsche Reibungskraft \(\vec F_{\rm{R}}\) mit \(F_{\rm{R}} = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v_1\) nach oben. Da nach dem Erreichen der Endgeschwindigkeit ein Kräftegleichgewicht zwischen diesen beiden Kräften herrscht, gilt für diesen Fall die Gleichung\[m \cdot g = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v_1 \quad (2)\]Wird nun das elektrische Feld angelegt, so wirkt zusätzlich die elektrische Kraft \(\vec F_{\rm{el}}\) mit \(F_{\rm{el}} = q \cdot E\). Da das Öltröpfchen nun langsamer fällt, muss die elektrische Kraft nach oben wirken. Da auch hier nach dem Erreichen der Endgeschwindigkeit ein Kräftegleichgewicht zwischen den drei Kräften wirkt, gilt für diesen Fall die Gleichung\[m \cdot g = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v_2 + q \cdot E \quad (3)\]Wenn wir nun von Gleichung \((2)\) die Gleichung \((3)\) subtrahiern, so erhalten wir\[(2)-(3): \quad 0=6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot \left( v_1 - v_2\right) - q \cdot E\]Auflösen dieser Gleichung nach \(q\) ergibt\[q=\frac{6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot \left( v_1 - v_2\right)}{E} \quad (4)\]Zur Berechnung von \(q\) fehlt nur noch der Radius \(r\). Diesen erhalten wir aber, wenn wir Gleichung \((1)\) in Gleichung \((2)\) einsetzen und die sich ergebende Gleichung nach \(r\) auflösen:\[\begin{eqnarray}\rho \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g &=& 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot {v_1}\left| {:\left( {r \cdot \pi } \right)} \right.\\\rho \cdot \frac{4}{3} \cdot {r^2} \cdot g &=& 6 \cdot \eta \cdot {v_1}\\{r^2} &=& \frac{{9 \cdot \eta \cdot {v_1}}}{{2 \cdot \rho \cdot g}}\\r &=& 3 \cdot \sqrt {\frac{{\eta \cdot {v_1}}}{{2 \cdot \rho \cdot g}}} \end{eqnarray}\]Setzen wir dies in Gleichung \((4)\) ein, so erhalten wir\[q=\frac{6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot 3 \cdot \sqrt {\frac{{\eta \cdot {v_1}}}{{2 \cdot \rho \cdot g}}} \cdot \left( v_1 - v_2\right)}{E} \quad (4)\]Mit \(\eta = 1{,}83 \cdot 10^{-5}\,\frac{\rm{N}\,\rm{s}}{\rm{m}^2}\), \(\rho = 0{,}92 \cdot 10^3\,\frac{\rm{kg}}{\rm{m}^3}\), \(g=9{,}81\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\) und \(E=30\,000\,\frac{\rm{V}}{\rm{m}}\) liefert das Einsetzen der gegebenen Werte\[q=\frac{6 \cdot \pi \cdot 1{,}83 \cdot 10^{-5}\,\frac{\rm{N}\,\rm{s}}{\rm{m}^2} \cdot 3 \cdot \sqrt {\frac{{1{,}83 \cdot 10^{-5}\,\frac{\rm{N}\,\rm{s}}{\rm{m}^2} \cdot {0{,}086\cdot 10^{-2}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}}}{{2 \cdot 0{,}92 \cdot 10^3\,\frac{\rm{kg}}{\rm{m}^3} \cdot 9{,}81\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}}}} \cdot \left( 0{,}086\cdot 10^{-2}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} - 0{,}081\cdot 10^{-2}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\right)}{30\,000\,\frac{\rm{V}}{\rm{m}}} = 1{,}61 \cdot 10^{-18}\,\rm{A\,s}=10 \cdot e\]
