Bei allen (ungedämpften) mechanischen Schwingungen kannst du einen periodischen Wechsel zwischen zwei Energieformen beobachten:
- Bei der einen Energieform handelt es sich um die kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}=\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\). Sie hängt allein von der Geschwindigkeit \(v\) des schwingenden Körpers ab.
- Die andere Energieform hängt allein von der Auslenkung \(y\) des schwingenden Körpers ab. Wir bezeichen sie deshalb mit \(E_{\rm{Aus}}\). Bei harmonischen Schwingungen folgt aus dem linearen Kraftgesetz \(F=-k \cdot y\) für die Energie \(E_{\rm{Aus}}\) stets \(E_{\rm{Aus}}=-\frac{1}{2} \cdot k \cdot y^2\).
Dies bedeutet konkret für den zeitlichen Verlauf von \(E_{\rm{kin}}\) und \(E_{\rm{Aus}}\):
Anfangsbedingungen \(y_0=0\) und \(v_0>0\)
Aus dem Zeit-Ort-Gesetz \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\) ergibt sich mit \(E_{\rm{Aus}}=\frac{1}{2} \cdot k \cdot y^2\)\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{Aus}}}} &=& \frac{1}{2} \cdot k \cdot {y^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot k \cdot {\left( {\hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)} \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot k \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\sin ^2}\left( {\omega \cdot t} \right)\end{eqnarray}\]
Aus dem Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz \(v(t) = \hat v \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\) ergibt sich mit \(E_{\rm{kin}}=\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\)\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{kin}}}} &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {\left( {\hat v \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)} \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat v}^2} \cdot {\cos ^2}\left( {\omega \cdot t} \right)\end{eqnarray}\]
Beachtet man, dass \(\hat v = \omega \cdot \hat y \Rightarrow {\hat v}^2=\omega^2 \cdot {\hat y}^2\) \((1)\) und \(\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} \Rightarrow k=\omega ^2 \cdot m\) \((2)\), so kann man leicht zeigen, dass die Gesamtenergie \(E_{\rm{ges}}=E_{\rm{kin}}+E_{\rm{Aus}}\) konstant bleibt:\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{ges}}}} &=& {E_{{\rm{kin}}}} + {E_{{\rm{Aus}}}}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat v}^2} \cdot {\cos ^2}\left( {\omega \cdot t} \right) + \frac{1}{2} \cdot k \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\sin ^2}\left( {\omega \cdot t} \right)\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot \overbrace {{\omega ^2} \cdot {{\hat y}^2}}^{\; = \;{{\hat v}^2}} \cdot {\cos ^2}\left( {\omega \cdot t} \right) + \frac{1}{2} \cdot \overbrace {{\omega ^2} \cdot m}^{\; = \;k} \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\sin ^2}\left( {\omega \cdot t} \right)\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {\omega ^2} \cdot {{\hat y}^2} \cdot \left[ {\underbrace {{{\cos }^2}\left( {\omega \cdot t} \right) + {{\sin }^2}\left( {\omega \cdot t} \right)}_{\; = \;1\;({\rm{PYTHAGORAS}})}} \right]\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {\omega ^2} \cdot {{\hat y}^2}\end{eqnarray}\]
Anfangsbedingungen \(y_0>0\) und \(v_0=0\)
Aus dem Zeit-Ort-Gesetz \(y(t) = \hat y \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\) ergibt sich mit \(E_{\rm{Aus}}=\frac{1}{2} \cdot k \cdot y^2\)\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{Aus}}}} &=& \frac{1}{2} \cdot k \cdot {y^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot k \cdot {\left( {\hat y \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)} \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot k \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\cos^2}\left( {\omega \cdot t} \right)\end{eqnarray}\]
Aus dem Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz \(v(t) = - \hat v \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\) ergibt sich mit \(E_{\rm{kin}}=\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\)\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{kin}}}} &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {\left( {-\hat v \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)} \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat v}^2} \cdot {\sin ^2}\left( {\omega \cdot t} \right)\end{eqnarray}\]
Analog zu oben kann man auch hier zeigen, dass die Gesamtenergie \(E_{\rm{ges}}\) konstant bleibt.
Hinweis: Der periodisch Wechsel zwischen zwei Energieformen ist ein allgemeines Kennzeichen von Schwingungen. So tritt z.B. bei den elektromagnetischen Schwingungen ein periodischer Wechsel zwischen elektrischer Energie und magnetischer Energie auf.
Graphische Darstellung von Energie aufgrund der Auslenkung , kinetischer Energie und Gesamtenergie