Kinetische Gastheorie

Wärmelehre

Kinetische Gastheorie

  • Was geschieht eigentlich in einem Gas, das man erwärmt?
  • Wie schnell bewegen sich die Teilchen in einem Gas?
  • Wie funktioniert eine Lichtmühle?

Bei dieser auch graphisch sehr ansprechenden Animation können Sie Teilchenzahl, Druck, Temperatur und Volumen des eingeschlossenen Gases ändern.

Daneben stehen eine Reihe von Messmöglichkeiten (Measurement Tools) zur Verfügung, die z.B. auch die Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen und die Lage des Schwerpunktes anzeigen.

 

zum Applet (etwas Geduld)

 

Aufbau

Otto Stern gelang 1920 die direkte Messung von Atomgeschwindigkeiten. In einem hochevakuierten Gefäß befindet sich ein mit Silber überzogener Platindraht (D), der elektrisch beheizt wird, so dass das Silber verdampft. Platin hat einen höheren Schmelzpunkt als Silber, somit kann verhindert werden, dass der Heizdraht zerschmilzt.
Die Silberatome treten radial nach allen Seiten aus, und zwar mit der Geschwindigkeit, die ihnen bei der Temperatur des verdampfenden Silbers zukommt.
Durch einen engen Spalt wird ein feiner Strahl von Silberatomen ausgeblendet, der bei ruhender Apparatur den Schirm in der Mitte (So in der folgenden Animation) schwärzen würde.

Versuchsprinzip

Zur Messung der Atomgeschwindigkeit lässt man die ganze Apparatur um die Achse D mit der Frequenz f rotieren. Auch dann ist die Bahn eines Atoms - vom äußeren Betrachter aus gesehen - geradlinig. Rotiert die Anordnung z.B. im Gegenuhrzeigersinn, so treffen die Atome nun bei der Stelle S1 auf. Die Entfernung der Auftrefforte So und S1 werde mit Ds bezeichnet.

Hinweise:

  • Für die Berechnung der Geschwindigkeit der Atome muss man die Strecke Ds messen. Da diese relativ klein ist, lässt man die Anordnung sowohl im Uhrzeigersinn als auch im Gegenuhrzeigersinn rotieren. Der Abstand der Punkte S1 und S2 ist dann 2·Δs. Man erreicht dadurch, dass der Fehler bei der Ds-Bestimmung kleiner wird.
  • In der Animation wird die Bewegung der Anordnung nur längs eines kleinen Kreisbogens dargestellt. Tatsächlich rotiert das ganze Gefäß samt Blende und Schirm mit der eingestellten Frequenz.

Bestimmung der Atomgeschwindigkeit aus den Messdaten

Ein Atom mit der Geschwindigkeit \(v\) benötigt zum Passieren der Strecke \(l\) zwischen Blende und Schirm die Zeit
\[\Delta t = \frac{l}{v} \quad(1)\]
Aus dem Verhältnis
\[\frac{{\Delta s}}{{2 \cdot \pi  \cdot r}} = \frac{{\Delta t}}{T}\]
ergibt sich mit \(\frac{1}{T} = f\)
\[\frac{{\Delta s}}{{2 \cdot \pi  \cdot r}} = \Delta t \cdot f \quad(2)\]
Setzt man \((1)\) in \((2)\) ein, so erhält man
\[\frac{{\Delta s}}{{2 \cdot \pi  \cdot r}} = \frac{l}{v} \cdot f \Leftrightarrow v = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot r \cdot l \cdot f}}{{\Delta s}}\]

Versuchsergebnisse

  • Wie aus dem nebenstehenden Schirmbild (bei Rotation im Uhrzeigersinn und im Gegenuhrzeigersinn) zu entnehmen ist, treten nicht zwei scharfe schwarze Striche auf sondern zwei Streifen mit unscharfen Begrenzungen. Dies zeigt, dass nicht alle Atome die gleiche Geschwindigkeit haben.
    Ein solche Geschwindigkeitsverteilung war bereits im 19. Jahrhundert von Maxwell und Boltzmann theoretisch vorhergesagt worden.
  • Aus den geometrischen Daten der Apparatur konnte Stern bei f = 45Hz eine mittlere Geschwindigkeit von <v> = 675m/s ermitteln. Mit Hilfe der Beziehung
    \[{\overline E _{{\rm{kin}}}} = \frac{3}{2} \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{A}}} \cdot \overline {{v^2}}  = \frac{3}{2} \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T\]
    aus der kinetischen Gastheorie
    kann aus der Geschwindigkeit eine Temperatur des "Silbergases" berechnet werden. Diese stimmte nun recht gut mit der gemessenen Temperatur des "Silbergases" überein.
  • Auf diese Weise konnte Stern nachweisen, dass die bei der kinetischen Wärmetheorie gemachten Annahmen realistisch waren.

Geschwindigkeitsmessung durch Gravitationsablenkung

Von Estermann, Simpson und Stern wurde eine Methode zur Geschwindigkeitsmessung von Atomen bzw. Molekülen durchgeführt, welche die Ablenkung der Teilchen im Gravitationsfeld der Erde ausnützt.

In einem Ofen befinden sich z.B. Cäsiumatome bei einer bestimmten Temperatur. Durch ein kleines Loch im Ofen können einige Atome in horizontaler Richtung in den evakuierten Raum zwischen Ofen und Detektorebene gelangen.
Zum Durchfliegen der Horizontalstrecke a brauchen die langsameren Atome länger als die schnellen Atome. Die langsameren Atome sind somit sind auch längere Zeit der Gravitationswirkung ausgesetzt und landen daher weiter unten am Auffangschirm.

Mit dieser Methode gelang eine sehr genaue Untersuchung der Geschwindigkeitsverteilung der Atome. Die gemessenen Ergebnisse deckten sich sehr gut mit denjenigen, die durch die maxwellsche Theorie vorhergesagt wurden. Somit liefert dieser Versuch wiederum eine Bestätigung für die Grundannahmen der kinetischen Gastheorie.

Geschwindigkeitsmessung mit Hilfe der Chopper-Methode

Bei der Choppper Methode sitzen zwei rotierende Scheiben (blau) auf einer gemeinsamen Achse. Durch ein Loch in der ersten Scheibe können die aus dem Ofen (grün) kommenden Gasteilchen passieren. Würden die beiden Scheiben still stehen, so würden die Gasteilchen auf der hinteren zweiten Scheibe beim grau markierten Kreis auftreffen.
Auch die hintere Scheibe besitzt ein Loch, das gegenüber dem der ersten Scheibe um einen Winkel φ versetzt ist.

Bei einer festen Rotationsfrequenz schaffen es Teilchen (lila) mit einer bestimmten Geschwindigkeit gerade beide Löcher zu passieren und im Detektor (hellblau) zu landen.
Schnellere Teilchen (rot) oder langsamere Teilchen (braun) können dagegen die zweite Scheibe nicht passieren.

Die Anordnung stellt also ein Geschwindigkeitsfilter dar, dessen Durchlässigkeit für eine bestimmte Teilchengeschwindigkeit durch die Drehfrequenz gesteuert werden kann.

Mit der dargestellten Anordnung, die sich im Vakuum befindet, kann die Geschwindigkeitsverteilung der aus dem Ofen austretenden Gasatome gemessen werden.

Anstelle der beiden Scheiben wird oft auch eine rotierende Walze verwendet, in deren Oberfläche - wie skizziert - eine Nut eingefräst ist. Bei vorgegebener Rotationsfrequenz der Walze gelangen nur Teilchen mit einer ganz bestimmten Geschwindigkeit durch die Anordnung, ohne an den Rand der Nut zu stoßen.

Versuchsergebnisse

Physlet von  W. Christian, Davidson college

In der Simulation werden 250 Teilchen, die zunächst einheitliche Geschwindigkeit haben, auf eine Wand eines Quaders zu bewegt und ihre Geschwindigkeit in bestimmten Zeitabständen registriert und graphisch dargestellt. Durch Stöße erreichen sie passen sich die Geschwindigkeiten der maxwellschen Verteilung, die als Kurve hinterlegt eingezeichnet ist, langsam an. Eine noch bessere Anpassung wäre erst bei noch größerer Teilchenzahl erkennbar, wurde aber wegen der großen Rechenarbeit im Applet nicht realisiert.

Es wird dreidimensional gerechnet und zweidimensional dargestellt.
Eine eindimensionale Normalverteilung wäre die bekannte symmetrische gausssche Glockenkurve
.


Die dreidimensionale "Normalverteilung" wird asymmetrisch und nach Maxwell als
geschrieben.

Bei der Zustandsänderung eines idealen Gases können sich alle drei Zustandsgrößen Druck p, Volumen V und Temperatur T ändern (allgemeiner Fall). Besondere Beachtung finden diejenigen Zustandsänderungen, bei denen eine der drei Zustandsgrößen fest bleibt. In dem Applet von W. Fendt können Sie betrachten, wie die Zustandsänderung im Versuch aussehen würde. Darüber hinaus sieht man, wie sich die Zustandsänderung jeweils im V-p-, T-V- und T-p-Diagramm äußert.

zum Applet

Bei dem dargestellten Modellgas, kann die Teilchenzahl, die Teilchengeschwindigkeit und der Druck des Systems verändert werden. Darüber hinaus kann man mit der Maus die seitlichen Behälterwände verschieben.

Das Gasvolumen, welches sich aufgrund der gewählten Randbedingungen ergibt, ist jeweils links oben neben dem Behälter abzulesen (volume).

Untersuchen Sie:

  • Den Zusammenhang zwischen Teilchenzahl N (particles) und dem Volumen (volume) unter Beibehaltung von Druck und Geschwindigkeit.
  • Den Zusammenhang zwischen Druck (pressure) und Volumen (N und Geschwindigkeit fest).
  • Den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit (velocity) und Volumen (N und Druck fest).

Bringt man in einen Raum verschiedene Gase, so mischen sich diese auch wenn keine Strömungen herrschen, bis beide Gassorten gleich verteilt sind. Dieser Vorgang heißt Diffusion. Gasteilchen mit größerer Geschwindigkeit diffundieren schneller durch eine poröse Membran, z.B. eine Tonschicht als langsame Gasteilchen.

Nachweis der schnelleren Diffusion leichter Gase

Stülpt man über einen Tonzylinder mit verhältnismäßig schweren Luftmolekülen (O2, N2) einen Behälter mit sehr leichten Molekülen (z.B. Wasserstoff oder Helium), so diffundieren die leichten Moleküle schneller ins Innere des Tonzylinders. Es entsteht dort ein Überdruck, den man mit einem U-Rohr-Manometer messen kann. Nach einer gewissen Zeit diffundieren aber auch die Luftmoleküle nach außen und es stellt sich wieder Druckgleichgewicht ein.

Die folgenden Bilder wurden einem Video der Universität Würzburg entnommen. Darin wird über einen Tonzylinder, dessen Innendruck mit einem U-Rohr-Manometer (unten links im Kreis) gemessen wird, ein Glas mit Helium gestülpt, dort eine Zeitlang belassen und dann wieder entfernt.

Die folgenden Bilder wurden ebenfalls einem Video der Universität Würzburg entnommen. Hier befindet sich in dem Glas allerdings schwerere Gasmoleküle, nämlich Kohlendioxid (CO2).

Diffusion zur Trennung leichter und schwerer Gase

Die Diffusion macht man sich beim Trennen von leichten und schweren Gasteilchen zu Nutze. Lässt man gleich viele leichte (rote) und schwere (blaue) Gasteilchen durch eine Diffusionszelle strömen, so gelangen mehr leichte Teilchen durch die poröse Membran, so dass am oberen und unteren Auslass das Gas einen größeren Anteil an leichten Teilchen hat, hingegen am mittlere Auslass einen größeren Anteil an schweren Teilchen.

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