Innere Energie - Wärmekapazität

Wärmelehre

Innere Energie - Wärmekapazität

  • Was lässt sich leichter erwärmen, Wasser oder Blei?
  • Warum ist es am Meer oft wärmer als im Landesinneren?
  • Kann man Eisen mit einem Hammer zum Glühen bringen?
  • Warum schwitzen wir eigentlich im Sommer?

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Eine Änderung der inneren Energie \(\Delta E_{\rm i}\) kann durch Verrichtung von Arbeit an einem Körper oder durch Übertragung von Wärme auf einen Körper erfolgen.
  • Die Änderung der innere Energie \(\Delta E_{\rm i}\) ist proportional zur Temperaturänderung \(\Delta \vartheta\) und zur Masse \(m\) .
  • Mathematisch wird der Zusammenhang beschrieben durch \(\Delta E_{\rm i}= c \cdot m\cdot \Delta \vartheta\).

Entsprechend dem Teilchenmodell ist die inneren Energie eines Körpers die Summe der kinetischer Energie und der potentiellen Energie aller Teilchen des Körpers. Bei Festkörpern und Flüssigkeiten ist es uns noch nicht möglich eine Formel für die innere Energie anzugeben. Aber durch geeignete Versuche kannst du eine Beziehung für die Änderung der inneren Energie \(\Delta E_{\rm i}\) von Körpern zu finden, solange diese den Aggregatszustand nicht wechseln.

Änderung der inneren Energie durch Verrichtung von Arbeit

Die innere Energie eines Körpers kann durch die Verrichtung von mechanischer Arbeit am Körper erhöht werden. Im Schürholzversuch dazu Reibearbeit \(W_{\rm R}=F_{\rm R}\cdot s\) an einem Körper verrichtet. Gleichzeitig wird die Temperatur des Körpers, an dem die Reibearbeit verrichtet wird gemessen.
Es zeigen sich folgende Zusammenhänge:

  • Bei konstanter Masse des Körpers führt eine Verdoppelung der am Körper verrichteten Arbeit, also eine Verdoppelung der Änderung der inneren Energie, zu einer Verdoppelung der Temperaturerhöhung \(\Delta\vartheta\) des Körpers. Daher gilt:\[\Delta E_{\rm i}\sim\Delta \vartheta\]
  • Bei Körpern aus gleichem Material muss an einem Körper der Masse \(2 m\) doppelt soviel Arbeit wie an einem Körper der Masse \(m\) verrichtet werden, um die gleiche Temperaturerhöhung zu erreichen. Daher gilt: \[\Delta E_{\rm i}\sim m\] 
  • Das Material des Körpers hat Einfluss auf die gemessene Erwärmung.

Änderung der inneren Energie durch Zuführen von elektrischer Energie

Versuch zur Erhöhung der inneren Energie durch Zuführen elektrischer Energie
Versuchsaufbau

Auch durch die Umwandlung von elektrischer Energie kann die in innere Energie eines Körpers erhöht werden. Dazu werden in einem Versuch Flüssigkeiten der Masse \(m\) mithilfe eines Tauchsieders erhitzt. Gemessen wird die Temperatur \(\vartheta\) in Abhängigkeit der Zeit \(t\). Das Problem bei diesem Versuch besteht darin, dass wir die elektrische Energie (im Moment) noch nicht berechnen können.

Auch hier zeigen sich die Zusammenhänge wie im Schürholzversuch:

  • Bei konstanter Masse des Körpers ist die Änderung der inneren Energie proportional zur Änderung der Temperatur des Körpers:\[\Delta E_{\rm i}\sim\Delta \vartheta\qquad{\rm (1)}\]
  • Bei fester Temperaturdifferenz ist die Änderung der inneren Energie proportional zur Masse des Körpers:\[\Delta E_{\rm i}\sim m\qquad{\rm (2)}\]
  • Das Material des Körpers hat Einfluss auf die gemessene Erwärmung.

Einführung einer Proportionalitätskonstanten

Die beiden Proportionalitäten \({\rm (1)}\) und \({\rm (2)}\) lassen sich zu einer einzigen Proportionalität zusammenfassen:\[\Delta E_{\rm i}\sim m\cdot \Delta \vartheta \qquad{\rm (3)}\]

Durch Einführung einer materialabhängigen Proportionalitätskonstanten \(c\) lässt sich die Proportionalität \({\rm (3)}\) in eine Gleichung überführen:\[\bbox[lightgreen,10px,border:2px solid grey]{\Delta E_{\rm i}= c \cdot m\cdot \Delta \vartheta}\]Mithilfe dieser Gleichung kannst du nun bspw. die Änderung der inneren Energie eines Körpers bei einer Temperaturerhöhung berechnen.
Die materialspezifische Konstante \(c\) heißt hierbei spezifische Wärmekapazität. So wird die Erkenntnis aus dem Versuchen berücksichtigt, dass das Material Einfluss auf die gemessene Erwärmung hat.

Hinweis: Oft wird anstelle von \(\Delta E_{\rm i}\) für die Änderung der inneren Energie auch \(Q\) für die zugeführte Wärmemenge geschrieben.

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die spezifische Wärmekapazität ist eine Materialkonstante.
  • Die spezifische Wärmekapazitätist ein Maß für diejenige Energie, die man benötigt, um \(1\,\rm{kg}\) eines Stoffes um \(1\,\rm{K}\) zu erwärmen.

Berechnung

Die spezifische Wärmekapazität \(c\) eines Körpers ist bestimmt durch die Gleichung zur Änderung der inneren Ernegie \(\Delta E_{\rm i}= c \cdot m\cdot \Delta \vartheta\).
Auflösen nach der Wärmekapazität liefert

\[\bbox[lightgreen,1em,border:2px solid grey]{c=\frac{\Delta E_{\rm i}} {m\cdot \Delta \vartheta}}\]

mit der Änderung der inneren Energie \(\Delta E_{\rm i}\), der Masse \(m\) des Körpers und der Temperaturdifferenz \(\vartheta\). 

Die Einheit der spezifischen Wärmekapazität ist entsprechend: \[\left[ c \right] = \frac{{\left[ {\Delta {E_{\rm{i}}}} \right]}}{{\left[ m \right] \cdot \left[ {\Delta \vartheta } \right]}} = \frac{{\rm{J}}}{{{\rm{kg}} \cdot K}}\]

Die spezifische Wärmekapazitätist ein Maß für diejenige Energie, die man benötigt, um \(1\,\rm {kg}\) eines Stoffes um \(1\,\rm{K}\) bzw. \(1^{\circ}\,\rm{C}\) zu erwärmen.

Beispiele spezifischer Wärmekapazitäten

Diagramm spezifische Wärmekapazitäten

Hohe spezifische Wärmekapazität von Wasser

Wasser hat mit \(4190\,\rm{\frac{K}{kg\cdot \rm{K}}}\) eine sehr hohe Wärmekapazität. 1 kg Wasser muss so eine Energie von ca. 4190 Joule zugeführt werden, um die Wassertemperatur um \(1\,\rm{K}\) oder \(1\,^{\circ}\rm{C}\) zu erhöhen.
Die große spezifische Wärmekapazität von Wasser hat eine wichtige Bedeutung für das Klima unserer Erde. Das Meer speichert im Sommer infolge seiner hohen spezifischen Wärmekapazität bedeutende Energiemengen, ohne sich dabei stark zu erwärmen. Diese Energie wird im Winter wieder abgegeben. Das Klima am Meer ist daher das ganze Jahr über relativ ausgeglichen, und es treten nur geringe Temperaturunterschiede auf. In Gegenden, die weiter vom Meer entfernt sind (Mitte der Kontinente), fallen die Temperaturunterschiede wesentlich größer aus als in meernahen Gegenden (→ Kontinentalklima).

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Phasenübergänge sind zwischen allen Zuständen (fest. flüssig, gasförmig) möglich.
  • Bei Phasenübergängen muss Energie hinzugefügt werden bzw. wird Energie frei. Die Temperatur verändert sich dabei zunächst nicht.
  • Bei den Phasenübergängen verändern sich die Bindungen zwischen den Teilchen. Die potentielle Energie (Teil der inneren Energie) ändert sich hierbei

Bezeichnungen der Phasenübergänge

Zwischen den drei Aggregatszuständen fest, flüssig und gasförmig sind die folgenden Übergänge möglich:


gasförmig

fest

flüssig

Energie und Temperatur bei den Phasenübergängen

Bei den Phasenübergängen muss Energie zugeführt werden bzw. wird Energie frei ohne das sich die Temperatur des Stoffes verändert.
Erwärmt man einen Festkörper mit einer Heizquelle konstanter Leistung, so kann man in der Regel das folgende (qualitative) Zeit-Temperatur-Diagramm beobachten. Dieses Diagramm wird auch durchlaufen (allerdings in umgekehrter Richtung), wenn man den gasförmigen Körper so lange abkühlt, bis er erstarrt ist.

  • Führt man dem Festkörper laufend Energie zu, so steigt seine Temperatur, die Bewegung der Atome wird heftiger. Der kinetische Anteil der inneren Energie nimmt zu.
  • Ist die Schmelztemperatur erreicht, so bleibt die Temperatur konstant, obwohl weiterhin pro Zeiteinheit ein fester Energiebetrag zugeführt wird. Die Bindungen zwischen den Teilchen werden "gelockert", der potentielle Anteil der inneren Energie nimmt zu.
  • Wenn der Festkörper vollständig geschmolzen ist, also nur noch Flüssigkeit vorliegt, führt die Energiezufuhr wiederum zum Temperaturanstieg. Die Bewegung der Atome wird noch heftiger, es bestehen aber noch Bindungen, die in der Regel aber nicht so stark sind wie beim Festkörper. Der kinetische Anteil der inneren Energie nimmt zu.
  • Mit Erreichen der Siedetemperatur geht die Flüssigkeit allmählich in den Gaszustand über. Trotz Energiezufuhr bleibt die Temperatur solange konstant, bis keine Flüssigkeit mehr vorliegt. Die Bindungen zwischen den Teilchen werden weitgehend aufgelöst, der potentielle Anteil der inneren Energie nimmt zu.
  • Bei Energiezufuhr im Gaszustand steigt die Temperatur nun wieder an, der kinetische Anteil der inneren Energie nimmt weiter zu.

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Wenn die Bindungen der Teilchen bei einem Übergang loser wird, muss Energie hinzugefügt werden (fest->flüssig, flüssig->gasförmig, fest->gasförmig).
  • Wenn die Bindungen der Teilchen bei einem Übergang fester wird, wird Energie frei (gasförmig->flüssig, flüssig->fest, gasförmig->fest).
  • Die spezifische Schmelz- bzw. Verdampfungswärme ist eine Materialkonstante, die häufig in \(\rm{\frac{J}{kg}}\) angegeben wird.

Spezifische Schmelz- und Verdampfungswärme von Eis bzw. Wasser

Hinweis: Schmelzwärme und Verdampfungswärme werden teilweise auch als Schmelzenergie und Verdampfungsenergie bezeichnet.
Für 1 kg Wasser sind in dem folgenden Diagramm die wichtigen Energien angegeben.

Spezifische Schmelz- und Verdampfungswärme von Wasser

Im Diagramm ist zu sehen, dass Verdampfungsenergie und Kondensationsenergie bzw. Schmelzenergie und Erstarrungsenergie gleich groß sind.

Notwendige und freiwerdende Energie bei Phasenübergängen sind gleich

Kühlst du also ein Gas ab, so kondensiert dieses bei der Kondensationstemperatur. Beim Kondensieren wird Energie frei. Um den Stoff wieder zu verdampfen, ist die gleiche Energie nötig. Die Kondensationsenergie ist gleich der Verdampfungsenergie.
Kühlst du eine Flüssigkeit ab, so erstarrt diese bei der Erstarrungstemperatur. Beim Erstarren wird ebenfalls Energie frei. Um den Stoff wieder zu schmelzen, ist die gleiche Energie nötig. Die Erstarrungsenergie ist gleich der Schmelzenergie.

Allgemein gilt

  • Bei Übergängen, an denen die Bindung der Teilchen zueinander loser wird, muss Energie hinzugefügt werden (fest->flüssig, flüssig->gasförmig, fest->gasförmig).
  • Bei Übergängen, an denen die Bindung der Teilchen zueinander fester wird, wird Energie frei (gasförmig->flüssig, flüssig->fest, gasförmig->fest).

Hinweis: Die Schmelz- und Verdampfungswärme von Wasser sind relativ groß. Die Energie, die du aufwenden musst, um 1 kg Eis zu schmelzen, entspricht der Energie, die nötig ist, um 1 kg Wasser von 0°C auf etwa 80 °C zu erwärmen.

Spezifische Schmelz- und Verdampfungswärme

Willst du berechnen, wie viel Energie notwendig ist, um einen reinen Festkörper, eine reine Flüssigkeit bzw. ein reines Gas zu erwärmen (ohne Phasenübergang!), so benutzt man die Beziehung: \[\Delta E_{\rm{i}} = c \cdot m \cdot \Delta \vartheta .\] Dabei ist für \(c\) jeweils die spezifische Wärmekapazität von Festkörper, Flüssigkeit oder Gas einzusetzen.

Um zu berechnen, wie viel Energie zum Schmelzen bzw. Verdampfen aufzuwenden ist, kannst du die folgenden Beziehungen nutzen: \[\Delta E_{\rm i}= s\cdot m\qquad\rm{bzw.}\qquad \Delta E_{\rm i}= r\cdot m\] Dabei stellen \(s\) bzw. \(r\) jeweils die spezifische Schmelz- bzw. Verdampfungswärme dar. Ihre Einheit ist \(\rm{\frac{J}{g}}\) (oder auch \(\rm{\frac{kJ}{g}}\)).

Einen Versuch zur Bestimmung der Schmelzwärme findest du hier. Einen Versuch zur Bestimmung der Verdampfungswärme hier.

Eine Liste mit Tabellenwerten für spezifische Schmelz- und Verdampfunsergien findest du im Aufgabenteil.

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die innere Energie eines Systems kann durch mechanische Arbeit \(W\) und/oder durch Zufuhr einer Wärmemenge \(Q\) erhöht werden.
  • Der 1. Hauptsatz der Wärmelehre lautet  \(\Delta E_{\rm i}= W+ Q\)

Arbeit, Wärme, Änderung der inneren Energie

Die innere Energie eines Systems, die im Teilchenmodell die Summe aller mikroskopischen kinetischen und potentiellen Energien ist, kannst du auf zwei Arten erhöhen:

  • Du kannst an dem System auf mechanische Art Energie zuführen. Dazu verrichtest du die Arbeit \(W\) am System, bspw. durch ständiges Hämmern auf ein Eisenstück.
  • Du kannst dem System thermische Energie zuführen. Dazu führst du dem System die Wärme \(Q\) zu, bspw. durch erhitzen des Eisenstückes mittels Bunsenbrenners. Dabei entspricht die Wärme \(Q\) der Energie, die aufgrund eines Temperaturunterschieds durch ungeordnete Teilchenstöße von einem heißen Körper auf einen kälteren Körper übergeht.

Die Zusammenhänge zwischen der Änderung der innerer Energie, Arbeit und Wärme werden durch den sog. 1. Hauptsatz der Wärmelehre beschrieben.

1. Hauptsatz der Wärmelehre

Änderung der inneren Energie des Systems = Arbeit + Wärme\[\Delta E_{\rm i}=W+Q\]

Festlegung der Vorzeichen

Wird die innere Energie eines Systems durch mechanische Arbeit \(W\) und/oder durch Zufuhr der Wärme \(Q\) erhöht, so musst du die Arbeit \(W\) und die Wärme \(Q\) als positive Größen zählen. Die Änderung der inneren Energie ist in diesem Fall positiv \(\Delta E_{\rm i}>0\)

Umgekehrt kann die innere Energie eines Systems natürlich auch abnehmen, wenn das System mechanische Arbeit verrichtet und/oder Wärme abgibt. In diesem Fall musst du die Arbeit \(W\) und die Wärme \(Q\) als negative Größen zählen. Die Änderung der inneren Energie ist in diesem Fall positiv \(\Delta E_{\rm i}<0\).

Arbeit \(W\) und Wärme \(Q\) müssen jedoch nicht immer das gleiche Vorzeichen besitzen, sondern können auch entgegengesetzt gerichtet sein. Wird dem System bspw. Wärme zugeführt, aber gleichzeitig vom System Arbeit verrichtet (ihm Arbeit entzogen), so ist die Wärme \(Q\) positiv, die Arbeit \(W\) negativ. In der folgenden Animation sind verschiedene Vorgänge und die sich dabei ergebende Änderung der inneren Energie dargestellt.

Arbeit und Wärme als Prozessgrößen

Sowohl die Arbeit \(W\) als auch die Wärme \(Q\) sind sog. Prozessgrößen (Transfergrößen). Prozessgrößen treten immer dann auf, wenn die Veränderung des Zustand eines Systems betrachtet wird. Mithilfe der Prozessgrößen kann man die auftretenden Veränderungen genau beschreiben. In unserem Beispiel beschreiben die Prozessgrößen Arbeit und Wärme die Veränderung der inneren Energie eines Systems. Im Gegensatz dazu bezeichnet man die innere Energie als Zustandsgröße. Zustandsgrößen beschreiben den statischen Zustand eines Systems.

Spezialfall des Energieerhaltungssatzes

Da es sich bei der Wärme und der Arbeit um übertragene Energie handelt, stellt der 1. Hauptsatz der Wärmelehre nichts anderes dar, als eine spezielle Formulierung des Energieerhaltungssatzes. Diese - für uns fast selbstverständliche - Erkenntnis war lange Zeit nicht möglich, da man erst im Laufe des 19. Jahrhunderts darauf kam, dass Wärme ein Form übertragener Energie ist. Vergleiche hierzu die Seite über den "Wärmestoff".

Hinweis:
  • Oft wird der 1. Hauptsatz auch in der Form \(\Delta E_{\rm i}=\Delta W + \Delta Q\) geschrieben.
Verständnisaufgabe

a) Einem System werden \(45{\rm{J}}\) mechanische Arbeit und \(125{\rm{J}}\) Wärme zugeführt. Mache mithilfe einer Rechnung eine quantitative Aussage über die Änderung der inneren Energie des Systems bei diesem Prozess.

Lösung

gegeben: \(W = + 45{\rm{J}}\), \(Q = + 125{\rm{J}}\)

gesucht: \(\Delta {E_{\rm{i}}}\)
\[\Delta {E_{\rm{i}}} = W + Q \Rightarrow \Delta {E_{\rm{i}}} = + 45{\rm{J}} + ( + 125{\rm{J}}) = + 170{\rm{J}}\]
Die innere Energie des Systems nimmt um \(170{\rm{J}}\) zu.

b) Ein System verrichtet eine mechanische Arbeit von \(200{\rm{J}}\), gleichzeitig soll sich die innere Energie des Systems aber um \(50{\rm{J}}\) vergrößern. Mache mithilfe einer Rechnung eine quantitative Aussage über die Wärme bei diesem Prozess.

Lösung

gegeben: \(\Delta {E_{\rm{i}}} = +50{\rm{J}}\), \(W = -200{\rm{J}}\)

gesucht: \(Q\)
\[\Delta {E_{\rm{i}}} = W + Q \Leftrightarrow Q = \Delta {E_{\rm{i}}} - W \Rightarrow Q = + 50{\rm{J}} - ( - 200{\rm{J}}) = + 250{\rm{J}}\]
Dem System müssen \(250{\rm{J}}\) Wärme zugeführt werden.

c) Bei einem Vorgang verliert ein System \(200{\rm{J}}\) innere Energie und gibt \(150{\rm{J}}\) Wärme ab. Mache mithilfe einer Rechnung eine quantitative Aussage über die mechanische Arbeit bei diesem Prozess.

Lösung

gegeben: \(\Delta {E_{\rm{i}}} = -200{\rm{J}}\), \(Q = -150{\rm{J}}\)

gesucht: \(W\)
\[\Delta {E_{\rm{i}}} = W + Q \Leftrightarrow W = \Delta {E_{\rm{i}}} - Q \Rightarrow W = - 200{\rm{J}} - ( - 150{\rm{J}}) = - 50{\rm{J}}\]
Das System verrichtet \(50{\rm{J}}\) mechanische Arbeit.

Ergänzendes Material zum Thema bei Welt der Physik
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