Allgemeines Gasgesetz

Wärmelehre

Allgemeines Gasgesetz

  • Warum transportieren Taucher Sauerstoff in Metallflaschen?
  • Was geschieht, wenn man Luft immer weiter abkühlt?
  • Warum benutzt man im Weltall Gasthermometer?

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Wird eine feste Menge (konstante Teilchenzahl \(N\)) eines Idealen Gases auf einer konstanten Temperatur \(T\) gehalten, während sich der Druck oder das Volumen der Gasmenge ändern, so spricht man von einer isothermen Zustandsänderung der Gasmenge.
  • Bei derartigen isothermen Zuständänderungen ist das Volumen \(V\) der Gasmenge umgekehrt proportional zum Druck \(p\)\[V \sim \frac{1}{p}\;\;\;\rm{bzw.}\;\;\;p \cdot V\;\rm{ist\;konstant}\;\;\;\rm{bzw.}\;\;\;p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2\]

Zusammenhang von Volumen und Druck

Das Gesetz von BOYLE-MARIOTTE gibt den Zusammenhang zwischen dem Druck \(p\) und dem Volumen \(V\) eines idealen Gases unter Konstanthaltung der Temperatur \(T\) des Gases und der Teilchenzahl \(N\) des Gases an. Eine solche Zustandsänderung der Gasmenge bei konstanter Temperatur \(T\) nennt man isotherm.  Ermittelt werden kann das Gesetz mithilfe des folgenden Experimentes.

Ergebnis

Bei konstanter Temperatur \(T\) und konstanter Teilchenzahl \(N\) ist bei einem Idealen Gas der Druck \(p\) umgekehrt proportional zum Volumen \(V\), kurz:\[p \sim \frac{1}{V}\;\;\;\rm{bzw.}\;\;\;p \cdot V\;\rm{ist\;konstant}\;\;\;\rm{bzw.}\;\;\;p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2\]Dieses Gesetz wurde von dem Iren Robert BOYLE (1626 - 1691) und dem Franzosen Edme MARIOTTE (1620 - 1684) unabhängig voneinander entdeckt.

Verständnisaufgabe

Markieren Sie die zutreffenden Aussagen zum Gesetz von BOYLE-MARIOTTE.

Lösungsvorschläge
Lösung

Richtig sind die Antworten a), c) und d).

Da das Gesetz von Boyle-Mariotte nur bei konstanter Temperatur gilt, gilt es nur bei isothermen Zustandsänderungen, nicht bei isobaren (konstanter Druck).

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Wird eine feste Menge (konstante Teilchenzahl \(N\)) eines Idealen Gases auf einem konstanten Druck \(p\) gehalten, während sich die Temperatur oder das Volumen der Gasmenge ändern, so spricht man von einer isobaren Zustandsänderung der Gasmenge.
  • Bei derartigen isobaren Zuständänderungen ist das Volumen \(V\) proportional zur Temperatur \(T\)\[V \sim T\;\;\;\rm{bzw.}\;\;\;\frac{V}{T} \;\rm{ist\;konstant}\;\;\;\rm{bzw.}\;\;\;\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\]

Zusammenhang von Temperatur und Volumen

Das Gesetz von GAY-LUSSAC gibt den Zusammenhang zwischen dem Volumen \(V\) und der Temperatur \(T\) eines Idealen Gases bei Konstanthaltung des Drucks \(p\) und der Teilchenzahl \(N\) an. Eine solche Zustandsänderung der Gasmenge bei konstantem Druck \(p\) nennt man isobar. Ermittelt werden kann das Gesetz mithilfe des folgenden Experimentes.

Ergebnis

Bei konstantem Druck \(p\) und konstanter Teilchenzahl \(N\) ist bei einem Idealen Gas das Volumen \(V\) proportional zur Temperatur \(T\), kurz\[V \sim T\;\;\;\rm{bzw.}\;\;\;\frac{V}{T} \;\rm{ist\;konstant}\;\;\;\rm{bzw.}\;\;\;\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\]Dieses Gesetz wurde von Jacques CHARLES (1746 - 1823) und Joseph Louis GAY-LUSSAC (1778 - 1850) entdeckt.

Verständnisaufgabe

Markieren Sie die zutreffenden Aussagen zum Gesetz von GAY-LUSSAC.

Lösungsvorschläge
Lösung

Richtig sind die Antworten a), b), c) und e).

Da nach dem Gesetz von Gay-Lussac der Quotient \(\frac{V}{T}\) konstant ist, verdoppelt sich die Temperatur, wenn sich das Volumen verdoppelt.

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Wird eine feste Menge (konstante Teilchenzahl \(N\)) eines Idealen Gases auf einem konstanten Volumen \(V\) gehalten, während sich die Temperatur oder der Druck der Gasmenge ändern, so spricht man von einer isochoren Zustandsänderung der Gasmenge.
  • Bei derartigen isochoren Zuständänderungen ist der Druck \(p\) proportional zur Temperatur \(T\)\[p \sim T\;\;\;\rm{bzw.}\;\;\;\frac{p}{T} \;\rm{ist\;konstant}\;\;\;\rm{bzw.}\;\;\;\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}\]

Zusammenhang von Temperatur und Druck

Das Gesetz von AMONTONS gibt den Zusammenhang zwischen dem Druck \(p\) und der Temperatur \(T\) bei einem Idealen Gas unter Konstanthaltung des Volumens \(V\) und der Teilchenzahl \(N\) an. Eine solche Zustandsänderung der Gasmenge bei konstantem Volumen \(V\) nennt man isochor.

Erbegnis

Bei konstantem Volumen \(V\) und konstanter Teilchenzahl \(N\) ist bei einem Idealen Gas der Druck \(p\) proportional zur Temperatur \(T\), kurz\[p \sim T\;\;\;\rm{bzw.}\;\;\;\frac{p}{T} \;\rm{ist\;konstant}\;\;\;\rm{bzw.}\;\;\;\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}\]Dieses Gesetz wurde von Guillaume AMONTONS (1663 - 1705) entdeckt.

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Das Gesetz von BOYLE-MARIOTTE und das Gesetz von GAY-LUSSAC können zur allgemeinen Gasgleichung zusammengefasst werden.
  • Die allgemeine Gasgleichung besagt: \(\frac{{p \cdot V}}{T}\;{\rm{ist}}\;{\rm{konstant}}\)

Zusammenhang für alle drei Zustandsgrößen \(p\), \(V\) und \(T\)

Meist ändern sich bei den Vorgängen in der Natur alle drei Zustandsgrößen \(p\), \(V\) und \(T\) eines Gases. Damit du solche Vorgänge beschreiben kannst, musst du das Gesetz von BOYLE-MARIOTTE  \[V \sim \frac{1}{p}\quad(1)\] und das Gesetz von GAY-LUSSAC \[V \sim T\quad(2)\] zusammenfassen.
Da nach Boyle-Mariotte \(V\) proportional zu \(\frac{1}{p}\) ist und nach Gay-Lussac \(V\) proportional zu \(T\), so ist \(V\) auf proportional zum Produkt von \(\frac{1}{p}\cdot V\). \[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{(1)\quad V \sim \frac{1}{p}}\\{(2)\quad V \sim T}\end{array}} \right\} \Rightarrow V \sim \frac{1}{p} \cdot T \Leftrightarrow V\sim \frac{T}{p}\]Diese "Superformel" wird das Allgemeine Gasgesetz genannt.

Allgemeines Gasgesetz

\[V \sim \frac{T}{p}\;{\rm{oder}}\;\frac{{p \cdot V}}{T}\;{\rm{ist}}\;{\rm{konstant}}\]

Weitere Schreibweisen

Insbesondere wenn zwei Zustände eines Gases vor- und nach einer Veränderung beschrieben werden, ist häufig die Schreibweise \[\frac{{{V_1} \cdot {p_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{V_2} \cdot {p_2}}}{{{T_2}}}\] hilfreich. Die Gleichung macht deutlich, dass die Quotienten vor und nach der Veränderung gleich sein müssen (wenn sich die Gasmenge nicht verändert).
Etwas mathematischer ist der Ausdruck in Form von \[V = C \cdot \frac{T}{p}\] wobei \(C\) eine Proportionalitätskonstant ist.
Wie du diese Proportionalitätskonstante näher bestimmen kannst, erfährst du später in der kinetischen Gastheorie.

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