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Aufgabe

Sonnige Zeiten

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Aufgabenidee von Dr. Bube

In Deutschland triffen in einem Jahr auf \(1{,}0\,\rm{m}^2\) horizontaler Fläche etwa \(1000\,\rm{kWh}\) Sonnenenergie.

a)Du sollst einem interessierten Mitbürger den Energiegehalt der Sonneneinstrahlung anschaulich machen. Gehe von der obigen mittleren Jahreseinstrahlung aus und stelle die Energiemenge als "Öl-See" mit der Fläche \(1{,}0\,\rm{m}^2\) und der Höhe \(h\) dar. Berechne dazu die sich ergebende Höhe h.

Hinweis: Die benötigten Daten kannst du der Seite über den Heizwert entnehmen.

b)Solarzellen (die dann zu sogenannten Solarmodulen zusammengefasst werden) wandeln Sonnenenergie in elektrische Energie um. Wie viele Solarmodule mit einer Fläche von je \(0{,}5\,\rm{m}^2\) braucht man, um den elektrischen Jahresenergiebedarf eines Einfamilienhauses von ca. \(4500\,\rm{kWh}\) zu decken, wenn der Wirkungsgrad der gesamten Photovoltaikanlage ca. 10% beträgt?

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a)Wenn auf den Quadratmeter im Jahr die solare Energie \(1000\,\rm{kWh}\) auftrifft, muss der Öl-See (Grundfläche \(A=1{,}0\,\rm{m}^2\) ) ein so großes Volumen haben, dass bei dessen Verbrennung die Energie \(1000\,\rm{kWh}\) frei wird. \[\Delta {E_{\rm{i}}} = {H_{{\rm{Öl}}}} \cdot {m_{{\rm{Öl}}}} = {H_{{\rm{Öl}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Öl}}}} \cdot {V_{{\rm{Öl}}}} = {H_{{\rm{Öl}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Öl}}}} \cdot A \cdot h
 \Leftrightarrow h = \frac{{\Delta {E_{\rm{i}}}}}{{{H_{{\rm{Öl}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Öl}}}} \cdot A}}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[h = \frac{{1000 \cdot {{10}^3} \cdot 3600\,{\rm{J}}}}{{42 \cdot {{10}^6}\,\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 0{,}85\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 1 \cdot {{10}^3}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} = 0{,}1\,{\rm{m}}\] Der Öl-See müsste eine Höhe von ca. 10 cm haben.

b)Berechnung der solaren Energie, die notwendig ist, um den Energiebedarf eines durchschnittlichen Hauses zu decken:
\[\eta  = \frac{{{W_{{\rm{el}}}}}}{{{W_{{\rm{Solar}}}}}} \Leftrightarrow {W_{{\rm{Solar}}}} = \frac{{{W_{{\rm{el}}}}}}{\eta } \Rightarrow {W_{{\rm{Solar}}}} = \frac{{4500{\rm{kWh}}}}{{0,10}} = 45 \cdot {10^3}\,{\rm{kWh}}\] Berechnung der notwendigen Solarmodulfläche: \[\frac{A}{{{A_0}}} = \frac{{{W_{{\rm{Solar}}}}}}{{{W_{{\rm{Solar}}{\rm{,0}}}}}} \Leftrightarrow A = {A_0} \cdot \frac{{{W_{{\rm{Solar}}}}}}{{{W_{{\rm{Solar}}{\rm{,0}}}}}}\] \[\Rightarrow A = 1{,}0\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}} \cdot \frac{{45 \cdot {{10}^3}{\rm{kWh}}}}{{1{,}0 \cdot {{10}^3}{\rm{kWh}}}} = 45\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\]
Berechnung der notwendigen Solarmodulzahl: \[N = \frac{45\,\rm{m}^2}{0{,}50\,\rm{m}^2} = 90\] Man bräuchte ca. 90 Solarmodule.