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Aufgabe

Schwimmbaderwärmung

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Berechne, um wie viel Grad die Sonne an einem heißen Sommertag ein Schwimmbad erwärmt.

Löse diese Aufgabe mittels folgender vereinfachenden Annahmen und lege deinen Gedankengang durch entsprechenden Text klar dar.

Die Sonne bestrahlt die Wasseroberfläche 12 Stunden lang im Mittel unter einem Auftreffwinkel von 30°.

Die Solarkonstante beträgt \(S = 1{,}36\,\rm{\frac{kW}{m^2}}\) .

Spezifische Wärmekapazität: \(c_W = 4{,}2\,\rm{\frac{J}{g °C}}\). Dichte: \(\rho_W = 1{,}0\,\rm{\frac{g}{cm^3}}\)

40% der Sonnenstrahlung werden in der Atmosphäre absorbiert.

50% der auf die Oberfläche treffenden Strahlung wird reflektiert, der Rest wird im Wasser absorbiert und erwärmt es.

Das Schwimmbad ist gleichmäßig 1,5 m tief, 25 m lang und 12 m breit.

Andere Energieflüsse sollen unbeachtet bleiben.

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Es sind folgende Energieschwächungen:

Verlust in Atmosphäre: \({\eta _{{\rm{Atm}}}} = 0,60\)

Verlust an Oberfläche: \({\eta _{{\rm{Oberfl}}}} = 0,50\)

Die effektive Fläche ist \({A_{{\rm{eff}}}} = A \cdot \sin \left( \alpha  \right)\; = l \cdot b \cdot \sin \left( \alpha  \right)\)

Für die Masse gilt
\[m = \rho  \cdot V = \rho \cdot l \cdot b \cdot h\quad(1)\]
Die zugeführte Energie wird in innere Energie umgewandelt:
\[S \cdot \Delta t \cdot A \cdot \sin \left( \alpha \right) \cdot {\eta _{{\rm{Atm}}}} \cdot {\eta _{{\rm{Oberfl}}}} = {c_{\rm{W}}} \cdot m \cdot \Delta \vartheta \quad(2)\]
Setzt man (1) in (2) ein und löst nach der Temperaturdifferenz auf, so folgt
\[\Delta \vartheta = \frac{{S \cdot \Delta t \cdot l \cdot b \cdot \sin \left( \alpha \right) \cdot {\eta _{{\rm{Atm}}}} \cdot {\eta _{{\rm{Oberfl}}}}}}{{{c_{\rm{W}}} \cdot \rho \cdot l \cdot b \cdot h}} = \frac{{S \cdot \Delta t \cdot \sin \left( \alpha \right) \cdot {\eta _{{\rm{Atm}}}} \cdot {\eta _{{\rm{Oberfl}}}}}}{{{c_{\rm{W}}} \cdot \rho \cdot h}}\]
Mit den gegebenen Zahlen ergibte sich
\[\Delta \vartheta = \frac{{1360\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} \cdot 12 \cdot 3600{\rm{s}} \cdot \sin \left( {{{30}^\circ }} \right) \cdot 0,60 \cdot 0,50}}{{4,2\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{g}} \cdot ^\circ {\rm{C}}}} \cdot 1,0 \cdot {{10}^6}\frac{{\rm{g}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 1,50{\rm{m}}}} = 1{,}4 ^\circ {\rm{C}}\]
Das Schwimmbad erwärmt sich um \(1{,}4^{\circ}{\rm{C}}\).