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Aufgabe

Wirkungsgrad eines Autos

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Die maximale Dauerleistung eines Autos ist \(75\,\rm{kW}\). Fährt das Auto mit dieser konstanten Leistung auf der ebenen Autobahn, so beträgt seine Geschwindigkeit \(v = 180\,\rm{km/h}\). Hierbei verbraucht das Auto \(12{,}2\,\ell\) Benzin auf 100 km.

a) Berechne den Wirkungsgrad des Motors.

b) Das Auto besitzt die Masse \(m=1000\,\rm{kg}\). Schätze die Fahrwiderstandskraft (hervorgerufen durch Luftreibung, Lagerreibung, Reibung der Reifen usw.) ab, die das Auto erfährt?

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a) Berechnung der Zeit für 100 km: \[ \Delta t = \frac{\Delta s}{v} \quad \Rightarrow \quad \Delta t = \frac{100}{180}\, \mathrm{h} = 2,00 \cdot 10^3\, \mathrm{s} \] Berechnung der verrichteten mechanischen Arbeit: \[ \Delta E_\text{mech} = P \cdot \Delta t \quad \Rightarrow \quad \Delta E_\text{mech} = 75 \cdot 10^3 \cdot 2,00 \cdot 10^3\, \mathrm{J} = 1,5 \cdot 10^8\, \mathrm{J} \] Berechnung der chemischen Energie: \[ \begin{array}{} \Delta E_\text{chem} = H \cdot m \quad \Rightarrow \quad \Delta E_\text{chem} = H \cdot \rho \cdot V \quad \Rightarrow \\
\Delta E_\text{chem} = 42 \cdot 0,80 \cdot 10^3 \cdot 12,2\, \mathrm{\frac{kJ}{g} \cdot \frac{g}{l} \cdot l} = 4,1 \cdot 10^8\, \mathrm{J} \end{array} \] Berechnung des Wirkungsgrades: \[ \eta = \frac{\Delta E_\text{mech}}{\Delta E_\text{chem}} \quad \Rightarrow \quad \eta = \frac{1,5 \cdot 10^8}{4,1 \cdot 10^8} = 37\,\% \]

b) Die vom Motor verrichtete Arbeit dient dazu die erforderliche Reibarbeit und die Beschleunigungsarbeit aufzubringen.

Für die Beschleunigungsarbeit gilt: \[ \Delta E_\text{beschl} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \quad \Rightarrow \quad \Delta E_\text{beschl} = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot \left( 50 \right)^2\, \mathrm{J} = 1,3 \cdot 10^6\, \mathrm{J} \] Die Beschleunigungsarbeit (die im Idealfall nur einmal während der 100 km aufzubringen ist) ist um zwei Zehnerpotenzen kleiner als die in Teilaufgabe a) berechnete mechanische Arbeit und kann daher für die Abschätzung vernachlässigt werden.

Bei der Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit sind die Motorkraft und die Fahrwiderstandskraft betragsgleich. Berechnung der Kraft: \[ P = F \cdot v \quad \Rightarrow \quad F = \frac{P}{v} \quad \Rightarrow \quad F = \frac{75 \cdot 10^3}{50}\,\mathrm{\frac{J}{s \cdot \frac{m}{s}}} = 1,5\, \mathrm{kN} \]