Wärmelehre

Wärmekraftmaschinen

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Potentielle Energie einer Regenwolke

Aufgabe

Aus einer größeren Regenwolke, die sich in einer mittleren Höhe von \(1,2\rm{km}\) befand, hat es geregnet. Auf einer Fläche von \(36\rm{km^2}\) fielen in kurzer Zeit im Mittel \(60\rm{mm}\) Regen pro Quadratmeter.

a)Berechne, wie viel Kilogramm Wasser auf \(1,0\rm{m^2}\) fielen.

Berechne, wie viel Tonnen Wasser auf die Gesamtfläche fielen.

b)Berechne, welche potentielle Energie das Wasser in der Wolke besaß, ehe es auf die Erde herabfiel und wie viel Energie somit auf Luft, Regentropfen und Erde übertragen worden ist.

c)Berechne, wie viel Steinkohle mit einem Heizwert von \(32\frac{{{\rm{MJ}}}}{{{\rm{kg}}}}\) verbrannt werden müsste, um den gleichen Energiebetrag zu erhalten, den das Abregnen der Wolke geliefert hat.

d)Berechne, wie lange ein Großkraftwerk mit der elektrischen Leistung \(1000\rm{MW}\) betrieben werden müsste , damit die bereitgestellte elektrische Energie gleich der potentiellen Energie des Wassers in der Wolke ist.

 

Lösung

a)Das Wasservolumen auf \(1\rm{m^2}\) Fläche berechnet sich zu\[V = A \cdot h \Rightarrow {V_{1{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} = 1,0{{\rm{m}}^{\rm{2}}} \cdot 0,060{\rm{m}} = 0,060{{\rm{m^3}}}\]Wegen der Dichte von Wasser mit \({\rho _{{{\rm{H}}_{\rm{2}}}{\rm{O}}}} = 1,0 \cdot {10^3}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) ergibt sich für die Masse des Wassers auf \(1\rm{m^2}\) Fläche\[m = \rho \cdot V \Rightarrow {m_{1{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} = 1,0 \cdot {10^3}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 0,060{{\rm{m^3}}} = 60{\rm{kg}}\]Die Wassermasse auf \( 36\rm{km^2} = 36 \cdot 10^6 \rm{m^2}\) Fläche ergibt sich dann zu\[{m_{{\rm{36k}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} = 36 \cdot {10^6} \cdot {m_{1{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} = 36 \cdot {10^6} \cdot 60{\rm{kg}} = 2,2 \cdot {10^9}{\rm{kg}} = 2,2 \cdot {10^3}{\rm{t}}\]

b)Die potentielle Energie berechnet sich zu\[{E_{{\rm{pot}}}} = {m_{{\rm{36k}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} \cdot g \cdot h \Rightarrow {E_{{\rm{pot}}}} = 2,2 \cdot {10^9}{\rm{kg}} \cdot 9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 1,2 \cdot {10^3}{\rm{m}} = 2,6 \cdot {10^{13}} {\rm{J}}\]Die potentielle Energie des Regenwassers beträgt \(26\rm{TJ}\).

c)Die durch die Verbrennung der Steinkohle gewonnene innere Energie soll gleich der in Teilaufgabe b) berechneten potentiellen Energie sein:\[H = \frac{{\Delta {E_{\rm{i}}}}}{m} \Leftrightarrow m = \frac{{\Delta {E_{\rm{i}}}}}{H} = \frac{{{E_{{\rm{pot}}}}}}{H} \Rightarrow m = \frac{{2,6 \cdot {{10}^{13}}{\rm{J}}}}{{32 \cdot {{10}^6}\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{kg}}}}}} = 8,1 \cdot {10^5}{\mkern 1mu} {\rm{kg}}\]Man müsste ca. \(800\rm{t}\) Steinkohle verbrennen, um die potentielle Energie des Wassers in der Wolke zu bekommen.

d)Zusammenhang zwischen Leistung und Energie:\[P = \frac{{\Delta E}}{{\Delta t}} \Leftrightarrow \Delta t = \frac{{\Delta E}}{P} \Rightarrow \Delta t = \frac{{2,6 \cdot {{10}^{13}}{\rm{J}}}}{{1000 \cdot {{10}^6}{\rm{W}}}} = 2,6 \cdot {10^4}{\mkern 1mu} {\rm{s}} \approx 7 {\rm{h}}\]Das Kraftwerk müsste ungefähr sieben Stunden betrieben werden.