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Aufgabe

Innere Energie eines Gases

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Der berühmte italienische Physiker Enrico Fermi stellte seinen Studenten immer wieder Probleme, die man ohne viel Nachschlagen in Büchern oder Formelsammlungen, nur durch vernünftige Annahmen und einem klaren physikalischen Sachverstand lösen konnte.

Du sollst die innere Energie von einem Kubikmeter eines Gases bei \(20^\circ {\rm{C}}\) und Normaldruck abschätzen. Du weißt, dass die Dichte des Gases in diesem Zustand \(0,70\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}}\) ist und dass die Geschwindigkeit der Gasteilchen wie in nebenstehender Skizze dargestellt verteilt ist.

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Vereinfachung 1: Die innere Energie \(E_{\rm{i}}\) eines Gases besteht nur aus der kinetischen Energie der Teilchen. Dabei sei \({E_{{\rm{kin}}}}\) die kinetische Energie eines Teilchens.

Vereinfachung 2: Alle Teilchen haben die gleiche Geschwindigkeit. Wir verwenden dazu die häufigste Geschwindigkeit von \(v = 400\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\).

Für die innere Energie von \(N\) Teilchen mit der Masse \(m_{\rm{a}}\) ergibt sich dann
\[{E_{\rm{i}}} = N \cdot {E_{{\rm{kin}}}} = N \cdot \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{a}}} \cdot {v^2}\]
Die Masse eines Gasteilchens kennen wir nicht, jedoch wissen wir aus dem Volumen und der Dichte die Gesamtmasse des Gases:
\[m = \rho  \cdot V \Rightarrow m = 0,70\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}} \cdot 1{{\rm{m}}^3} = 0,70{\rm{kg}}\]
Außerdem ist das Produkt aus der Teilchenzahl \(N\) und der Masse eines Teilchens \(m_{\rm{a}}\) gleich der Gesamtmasse des Gases:
\[m = N \cdot {m_{\rm{a}}}\]
Somit ergibt sich für die innere Energie des Gases
\[{E_{\rm{i}}} = \frac{1}{2} \cdot N \cdot {m_{\rm{a}}} \cdot {v^2} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} \Rightarrow {E_{\rm{i}}} = \frac{1}{2} \cdot 0,70{\rm{kg}} \cdot {\left( {400\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} = 56000{\rm{J}}\]