Zwei abgeschlossene zylindrische Behälter 1 und 2 mit gleichem Querschnitt sind durch einen gemeinsamen Kolben, der nicht wärmeleitend ist, abgeschlossen. Zu Beginn herrscht in beiden der Druck \({p_1} = {p_2} = 960\,{\rm{hPa}}\) und die Temperatur \({\vartheta _1} = {\vartheta _2} = 20{,}0^\circ {\rm{C}}\).
Im Behälter 1 befinden sich \(0{,}630\,\rm{g}\) molekularer Sauerstoff und im Behälter 2 sind \(V_2 = 0{,}400\,\rm{\ell}\) Helium. Beide Gase sind als ideal zu betrachten.
a)
Zeige, dass sich die Volumina wie \({\rm{5:4}}\) verhalten.
b)
Berechne, in welchem Verhältnis die Massen der beiden Gasmengen stehen.
c)
Berechne, wie viele Heliumatome in \(1{,}0 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{s}}\) auf die Wand mit der Querschnittsfläche \(A = 10\,\rm{cm}^2\) treffen. Bei der Rechnung kannst du vereinfachend davon ausgehen, dass alle Heliumatome die mittlere Geschwindigkeit \(\bar{v}\) = 1,24·103 m/s besitzen und sich nur parallel zu günstig gewählten Koordinatenachsen bewegen.
Nun wird Behälter 1 auf \(120^\circ {\rm{C}}\) erhitzt, Behälter 2 durch geeignete Maßnahmen auf gleicher Temperatur \(20{,}0^\circ {\rm{C}}\) gehalten.
d)
Berechne, welches Volumen \({V'_2}\) sich im Behälter 2 einstellt.
Es gilt \[V_1=\frac{N\cdot k\cdot T}{p_1}\]mit \(N=\frac{M}{m}\), \(M=0,630\cdot 10^{-3}\rm{kg}\), \(m=32\cdot 1,66\cdot 10^{-27}\rm{kg}\) und \(T_1=293\rm{K}\).
Mit \(p_1=960\cdot 10^2\rm{\frac{N}{m^2}}\) folgt\[V_1=\frac{0,63\cdot 10^{-3}\rm{kg}\cdot 1,38\cdot 10^{-23}\rm{J\cdot K^{-1}}\cdot 293\rm{K}}{32\cdot 1,66\cdot 10^{-27}\rm{kg}\cdot 96000\rm{Nm^{-2}}}\]\[\Rightarrow V_1=5\cdot 10^{-4}\rm{m^3}=0,5\rm{l}\]Da \(V_2=0,4\rm{\ell}\) folgt\[V_1 : V_2 = 5:4\]
b)
Es gilt \[M_1=N\cdot m_{\rm{He}}\]mit \(N=\frac{p\cdot V}{k\cdot T}\), \(p_2=960\cdot 10^2\,\rm{Nm}^{-2}\), \(V_2=0,4\cdot 10^{-3}\,\rm{m^3}\), \(T_2=293\rm{K}\) und \(m_2=4\cdot 1,66\cdot 10^{-27}\,\rm{kg}\).
Daraus folgt \[M_2=\frac{96000\,\rm{Nm^{-2}}\cdot 0,4\cdot 10^-3\,\rm{m^3}\cdot 4\cdot 1,66\cdot 10^{-27}\,\rm{kg}}{1,38\cdot 10^{-23}\,\rm{J\cdot K^{-1}}\cdot 293\,\rm{K}}\]\[\Rightarrow M_2=6,3\cdot 10^{-5}\,\rm{kg}=0,063\rm{g}=0,1\cdot M_1\]
c)
Annahme: \(\frac{1}{6}\) aller \(N\) Atome bewegen sich auf die Wandfläche zu. Diejenigen \(N'\) darunter, die während des Zeitintervalls \(\Delta t\) auf die Wand treffen befinden sich im Teilvolumen \(V'\). So gilt\[V'=A\cdot \bar{v}\cdot\Delta t\]mit \(\Delta t = 1,0\cdot 10^{-6}\rm{s}\), \(A=10\cdot 10^{-4}\rm{m^2}\) und \(\bar{v}=1,24\cdot 10^3\rm{ms^{-1}}\). Es folgt\[V':V=N' : \frac{1}{6}N\]wobei für \(N=\frac{p\cdot V}{k\cdot T}\) nach Teilaufgabe b) gilt \[N=\frac{96000\rm{Nm^{-2}}\cdot 0,4\cdot 10^-3\rm{m^3}}{1,38\cdot 10^{-23}\rm{J\cdot K^{-1}}\cdot 293\rm{K}}\Rightarrow N=9,5\cdot 10^{21}\]Somit ergibt sich \[N'=\frac{N\cdot A\cdot \bar{v}\cdot\Delta t}{6\cdot V}\]\[N'=\frac{9,5\cdot10^{21}\cdot 10\cdot 10^{-4}\rm{m^2}\cdot 1,24\cdot 10^3\rm{ms^{-1}}\cdot 1,0\cdot 10^{-6}\rm{s}}{6\cdot 0,4\cdot 10^{-3}\rm{m^3}}\Rightarrow N'=4,9\cdot 10^{18}\]
d)
Es gilt \(p_1=p_2\) und hieraus folgt \[\frac{N_{1}\cdot k\cdot T'_1}{V_{1} + \Delta V}=\frac{N_{2}\cdot k\cdot T_2}{V_{2} - \Delta V}\] \[\Rightarrow N_1\cdot T'_1\left(\cdot V_2-\Delta V\right)=N_2\cdot T_2\cdot\left(V_1 + \Delta V\right)\]Ausmultiplizieren führt zu \[N_1\cdot T'_1\cdot V_2-N_1\cdot T'_1\cdot \Delta V=N_2\cdot T_2\cdot V_1 + N_2\cdot T_2\cdot \Delta V\]Umformen liefert\[\Rightarrow N_1\cdot T'_1\cdot V_2-N_2\cdot T_2\cdot V_1=N_1\cdot T'_1\cdot \Delta V + N_2\cdot T_2\cdot \Delta V\]\[\Rightarrow \Delta V = \frac{N_1\cdot T'_1\cdot V_2-N_2\cdot T_2\cdot V_1}{N_1\cdot T'_1 - N_2\cdot T_2}\]Mit \(N_1=1,2\cdot 10^{22}\), \(N_2=9,5\cdot 10^{21}\), \(T'_1=393\,\rm{K}\), \(T_2=293\,\rm{K}\), \(V_1=0,5\,\rm{l}\) und \(V_2=0,4\rm{\ell}\) ergibt sich \[\Delta V= \frac{1,2\cdot 10^{22}\cdot 393\rm{K}\cdot 0,4\rm{\ell}-9,5\cdot 10^{21}\cdot 293\rm{K}\cdot 0,5\rm{\ell}}{1,2\cdot 10^{22}\cdot 393\rm{K} + 9,5\cdot 10^{21}\cdot 293\rm{K}}\Rightarrow \Delta V=0,066\rm{\ell}\]Somit ergibt sich die Lösung zu \[V'_2 =0,4\rm{\ell}-0,066\rm{\ell}=0{,}334\rm{\ell}\]
