Zur Messung der Geschwindigkeit von Atomen lässt man einen Atomstrahl aus einem Ofen austreten und auf eine sogenannte Chopperanordnung treffen. Diese Anordnung befindet sich im Vakuum. Chopperrad 1 und 2 sitzen auf derselben Achse und rotieren mit der Frequenz \(f\). Die beiden Schlitze haben die gleiche Entfernung von der Achse und sind um den Winkel \(\varphi \) (\(\varphi < 360^\circ \)) gegeneinander verdreht. Bei einer bestimmten Geschwindigkeit der Atome fliegen diese durch Schlitz 1 und - nachdem sich die Räder um den Winkel \(\varphi \) weitergedreht haben- durch Schlitz 2 und werden im Detektor registriert.
a)
Leite eine Beziehung zur Bestimmung der Geschwindigkeit \(v\) der Atome in Abhängigkeit von der Frequenz \(f\), der Strecke \(d\) und dem Winkel \(\varphi \) her.
b)
Bei einer bestimmten Ofentemperatur soll mit obiger Anordnung die Geschwindigkeitsverteilung der Atome gemessen werden.
Erläutere, wie man dabei experimentell vorzugehen hat.
Stelle die Geschwindigkeitsverteilung in einem Diagramm dar.
Skizziere in diesem Diagramm nun mit anderer Farbe die Geschwindigkeitsverteilung, die sich bei höherer Ofentemperatur ergeben würde. Gehe auch mit Worten auf die wesentlichen Unterschiede zur ersten Geschwindigkeitsverteilung ein.
c)
Berechne, mit welcher Frequenz die Achse rotieren muss, damit bei der Ofentemperatur von \(T = 2000\rm{K}\) am Detektor gerade Cäsiumatome mit der mittleren Geschwindigkeit \(\bar v\) nachgewiesen werden. Die Daten der Anordnung seien \(d = 0{,}50\,\rm{m}\) und \(\varphi = 15^\circ \).
Gehe knapp darauf ein, ob bei den gegebenen Daten ausschließlich Atome mit \(\bar v\) nachgewiesen werden.
\[d = v \cdot \Delta t \Leftrightarrow v = \frac{d}{{\Delta t}}\quad (1)\] \[\varphi = \omega \cdot \Delta t = 2 \cdot \pi \cdot f \cdot \Delta t \Leftrightarrow \Delta t = \frac{\varphi }{{2 \cdot \pi \cdot f}}\quad (2)\] Einsetzen von \((2)\) in \((1)\) ergibt \[v = \frac{{d \cdot 2 \cdot \pi \cdot f}}{\varphi }\]
b)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Diagramm
Man variiert bei festem Abstand \(d\) und festem Winkel \(\varphi \) die Frequenz \(f\) und bestimmt für ein festes Zeitintervall (z.B. \(10\rm{s}\)) die am Detektor ankommenden Atome. Jeder Frequenz lässt sich damit eine Geschwindigkeit \(v\) und eine Intensität \(I\) zuordnen.
Bei höherer Temperatur \(T_2\) ist die maximale Geschwindigkeit größer und das Geschwindigkeitsspektrum breiter.
c)
\[\frac{1}{2} \cdot m \cdot \overline {{v^2}} = \frac{3}{2} \cdot k \cdot T \Leftrightarrow \overline {{v^2}} = \frac{{3 \cdot k \cdot T}}{m}\quad (1)\] \[\overline v = 0,92 \cdot \sqrt {\overline {{v^2}} } \quad (2)\] Einsetzen von \((2)\) in \((1)\) ergibt \[\overline v = 0,92 \cdot \sqrt {\frac{{3 \cdot k \cdot T}}{m}} \] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[\overline v = 0,92 \cdot \sqrt {\frac{{3 \cdot 1,38 \cdot 1{0^{ - 23}} \cdot 2000}}{{132,9 \cdot 1,66 \cdot {{10}^{ - 27}}}}} \sqrt {\frac{{{\textstyle{{\rm{J}} \over {\rm{K}}}} \cdot {\rm{K}}}}{{{\rm{kg}}}}} \approx 564\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Aus Teilaufgabe a) folgt \[f = \frac{{\bar v \cdot \varphi }}{{d \cdot 360^\circ }}\] und mit \(\varphi = 15^\circ \) und \(d = 0,50{\rm{m}}\) \[f = \frac{{564 \cdot 15^\circ }}{{0,50 \cdot 360^\circ }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}} \approx 47{\rm{Hz}}\]
Es werden auch Teilchen registriert, deren Geschwindigkeit so langsam ist, dass sich die Chopperräder beim Durchlaufen der Strecke d um \(15^\circ + n \cdot 360^\circ \;;\;{\rm{n}} \in \mathbb{N}\) gedreht haben.
