Ein Glasrohr mit der inneren Querschnittsfläche A = 5,0 mm2 wird auf einer Seite durch einen Quecksilberfaden der Länge l = 10,0 cm verschlossen, die andere Seite ist zugeschmolzen. Im Rohr ist Stickstoff (N2-Moleküle) eingeschlossen, für den die Gesetze eines idealen Gases verwendet werden dürfen.
a)
In waagrechter Lage (Bild 1) betrage die Länge h0 des eingeschlossenen Gasvolumens 50,0 cm.
Berechnen Sie für die Temperatur T0 = 295 K und den Außendruck p0 = 980 hPa die Anzahl und die mittlere Geschwindigkeit der Stickstoffmoleküle. (6 BE)
b)
Nun wird das Rohr aufgerichtet (Bild 2). Dabei bleibt die Temperatur konstant (T1 = T0).
Bestimmen Sie die neue Höhe h1 des Gasvolumens. (6 BE)
c)
In der Stellung von Bild 2 wird das Gas auf T2 = 373 K aufgeheizt.
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)
Berechnung der Teilchenzahl: Nach der universellen Gasgleichung gilt\[{p_0} \cdot {V_0} = N \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot {T_0} \Leftrightarrow N = \frac{{{p_0} \cdot {V_0}}}{{{k_{\rm{B}}} \cdot {T_0}}} = \frac{{{p_0} \cdot A \cdot {h_0}}}{{{k_{\rm{B}}} \cdot {T_0}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[N = \frac{{980 \cdot {{10}^2}{\rm{Pa}} \cdot {\rm{5}}{\rm{,0}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 6}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}} \cdot 0,500{\rm{m}}}}{{1,38 \cdot {{10}^{ - 23}}\frac{{\rm{J}}}{{\rm{K}}} \cdot 295{\rm{K}}}} = 6,0 \cdot {10^{19}}\]
Berechnung der mittleren Geschwindigkeit: Aus der kinetischen Deutung der Temperatur ergibt sich\[{{\bar E}_{{\rm{kin}}}} = \frac{3}{2} \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{A}}}\left( {{{\rm{N}}_2}} \right) \cdot \overline {{v^2}} = \frac{3}{2} \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T \Leftrightarrow \overline {{v^2}} = \frac{{3 \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T}}{{{m_{\rm{A}}}\left( {{{\rm{N}}_2}} \right)}}\]Mit \(\bar v = 0,92 \cdot \sqrt {\overline {{v^2}} } \) ergibt sich\[\bar v = 0,92 \cdot \sqrt {\frac{{3 \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T}}{{{m_{\rm{A}}}\left( {{{\rm{N}}_2}} \right)}}} \Rightarrow \bar v = 0,92 \cdot \sqrt {\frac{{3 \cdot 1,38 \cdot {{10}^{ - 23}}\frac{{\rm{J}}}{{\rm{K}}} \cdot 295{\rm{K}}}}{{28 \cdot 1,66 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}}} = 4,7 \cdot {10^2}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
b)
Es handelt sich um einen isothermen Prozess, bei dem das Gesetz von BOYLE-MARIOTTE gilt\[{p_1} \cdot {V_1} = {p_0} \cdot {V_0} \Leftrightarrow {p_1} \cdot A \cdot {h_1} = {p_0} \cdot A \cdot {h_0} \Leftrightarrow {h_1} = \frac{{{p_0} \cdot {h_0}}}{{{p_1}}}\]\({{p_1}}\) berechnet sich durch\[{{p_1} = b + {p_{{\rm{Hg}}}}}\]wobei \(b\) den äußeren Luftdruck darstellt, der dem Druck \(p_0\) gleich ist. Damit ergibt sich für \(p_1\)\[{{p_1} = {p_0} + {\rho _{{\rm{Hg}}}} \cdot g \cdot l \Rightarrow {p_1} = 980 \cdot {{10}^2}{\rm{Pa}} + 13,55 \cdot {{10}^3}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 0,100{\rm{m}} = 1,1{\rm{1}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^5}{\rm{Pa}}}\]und damit für \(h_1\)\[{h_1} = \frac{{980 \cdot {{10}^2}{\rm{Pa}} \cdot 5,0 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{m}}}}{{1,1{\rm{1}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^5}{\rm{Pa}}}} = 4,4 \cdot {10^{ - 1}}{\rm{m}} = 44{\rm{cm}}\]
c)
Es handelt sich um einen isobaren Prozess, bei dem das Gesetz von GAY-LUSSAC gilt: Im Zustand 1 gilt \(T_1=T_0\):\[\frac{{{V_2}}}{{{T_2}}} = \frac{{{V_1}}}{{{T_1}}} \Leftrightarrow \frac{{A \cdot {h_2}}}{{{T_2}}} = \frac{{A \cdot {h_1}}}{{{T_1}}} \Leftrightarrow {h_2} = \frac{{{T_2} \cdot {h_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{T_2} \cdot {h_1}}}{{{T_0}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{h_2} = \frac{{373{\rm{K}} \cdot 4,4 \cdot {{10}^{ - 1}}{\rm{m}}}}{{295{\rm{K}}}} = 5,6 \cdot {10^{ - 1}}{\rm{m}} = 56{\rm{cm}}\]
