Innere Energie - Wärmekapazität

\[\begin{eqnarray}\Delta {E_{{\rm{i,auf}}}} &=& \Delta {E_{{\rm{i,ab}}}}\\{m_2} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \left( {{\vartheta _{\rm{M}}} - {\vartheta _2}} \right) &=& {m_1} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \left( {{\vartheta _{\rm{1}}} - {\vartheta _{\rm{M}}}} \right)\end{eqnarray}\]

Da \({{\vartheta _{\rm{M}}}}\) gesucht ist, muss man die obere Gleichung nach dieser Unbekannten aufzulösen. Lineare Gleichungen mit der Variablen \(x\) bist du gewohnt zu lösen. Heißt jedoch die Unbekannte \({{\vartheta _{\rm{M}}}}\) so treten - eigentlich unverständliche - Schwierigkeiten auf. Verfahre aber analog der Lösung einer linearen Gleichung mit \(x\):
\[\begin{eqnarray}{m_2} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \left( {{\vartheta _{\rm{M}}} - {\vartheta _2}} \right) &=& {m_1} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \left( {{\vartheta _{\rm{1}}} - {\vartheta _{\rm{M}}}} \right) & \left| : \right.{c_{\rm{W}}}\\{m_2} \cdot \left( {{\vartheta _{\rm{M}}} - {\vartheta _2}} \right) &=& {m_1} \cdot \left( {{\vartheta _{\rm{1}}} - {\vartheta _{\rm{M}}}} \right)\\{m_2} \cdot {\vartheta _{\rm{M}}} - {m_2} \cdot {\vartheta _2} &=& {m_1} \cdot {\vartheta _{\rm{1}}} - {m_1} \cdot {\vartheta _{\rm{M}}} & \left|  +  \right.{m_1} \cdot {\vartheta _{\rm{M}}}\left| { + {m_2} \cdot {\vartheta _2}} \right.\\{m_2} \cdot {\vartheta _{\rm{M}}} + {m_1} \cdot {\vartheta _{\rm{M}}} &=& {m_1} \cdot {\vartheta _{\rm{1}}} + {m_2} \cdot {\vartheta _2}\\{\vartheta _{\rm{M}}} \cdot \left( {{m_2} + {m_1}} \right) &=& {m_1} \cdot {\vartheta _{\rm{1}}} + {m_2} \cdot {\vartheta _2} & \left| : \right.\left( {{m_2} + {m_1}} \right)\\{\vartheta _{\rm{M}}} &=& \frac{{{m_1} \cdot {\vartheta _{\rm{1}}} + {m_2} \cdot {\vartheta _2}}}{{{m_2} + {m_1}}}\end{eqnarray}\]
Mit den beim Versuchsbeispiel vorgegebenen Daten \({m_1} = 400{\rm{g}}\), \({m_2} = 200{\rm{g}}\), \({{\vartheta _{\rm{1}}} = 52,8^\circ {\rm{C}}}\) und \({{\vartheta _2} = 16,9^\circ {\rm{C}}}\) kann man nun \({{\vartheta _{\rm{M}}}}\) berechnen:
\[{\vartheta _{\rm{M}}} = \frac{{400{\rm{g}} \cdot 52,8^\circ {\rm{C}} + 200{\rm{g}} \cdot 16,9^\circ {\rm{C}}}}{{200{\rm{g}} + 400{\rm{g}}}} = 40,8^\circ {\rm{C}}\]
Es zeigt sich, dass nur eine geringfügige Abweichung zwischen dem errechneten und dem gemessenen Wert für die Mischtemperatur besteht. Die Formel für die innere Energie (gewonnen aus dem Schürholz-Versuch) hat sich auch bei der Behandlung des Mischversuches bewährt.

Während des Umgießens kühlt sich das heiße Wasser ab, es geht Energie "verloren" (beobachte, wie im Orient Tee eingeschenkt wird). Gießt man umgekehrt das kalte Wasser (das etwa Zimmertemperatur hat) um, so findet kaum eine Energieabgabe statt.

Das Mischgefäß nimmt - wenn auch geringfügig - Energie auf, so dass die gemessene Mischtemperatur des Wassers etwas niedriger liegt als der theoretisch berechnete Wert.