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Aufgabe

Warmwasserspeicher zur Raumheizung

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

In einem ideal isolierten Warmwasserspeicher befinde sich \(1{,}0\,\rm{m}^3\) Wasser mit \({c_{{\rm{Wasser}}}} = 4{,}2\frac{{\rm{kJ}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}}\).

a)Berechne die Zunahme der inneren Energie des Wassers, wenn man es um \(\Delta\vartheta=80^{\circ}\rm{C}\) erwärmt.

b)Der Warmwasserspeicher soll die Energieverluste eines Zimmers decken. Dabei soll die Temperatur im Zimmer \(18^{\circ}\rm{C}\), die Temperatur der Außenluft \(12^{\circ}\rm{C}\) sein. Vereinfachend werde angenommen, dass jeder Quadratmeter von Wand, Boden, Decke und Fenster bei dieser Temperaturdifferenz in der Sekunde \(18\,\rm{J}\) nach außen abgibt.

Schätze ab, wie lange der Warmwasserspeicher in einem Zimmer mit 5,0 m Länge, 4,0 m Breite und 2,50 m Höhe die Temperatur von \(18^{\circ}\rm{C}\) aufrechterhalten kann.

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a)Berechnung der Zunahme der inneren Energie:\[\Delta {E_{\rm{i}}} = {c_{\rm{W}}} \cdot m \cdot \Delta \vartheta  = {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho _{\rm{W}}} \cdot V \cdot \Delta \vartheta  \Rightarrow \Delta {E_{\rm{i}}} = 4{,}2\,\frac{{{\rm{kJ}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{^\circ C}}}} \cdot 1{,}0 \cdot {10^3}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 1{,}0{{\rm{m}}^{\rm{3}}} \cdot 80{\rm{^\circ C}} = 3{,}4 \cdot {10^5}\,{\rm{J}}\]

b)Berechnung der Zimmeroberfläche:\[O = 2 \cdot l \cdot b + 2 \cdot h \cdot \left( {l + b} \right) \Rightarrow O = 2 \cdot 5{,}0\,{\rm{m}} \cdot 4{,}0\,{\rm{m}} + 2 \cdot 2{,}5\,{\rm{m}} \cdot \left( {5{,}0\,{\rm{m}} + 4{,}0\,{\rm{m}}} \right) = 85\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\]Die Verlustleistung ist die Energie, die pro Sekunde aus dem Zimmer strömt:\[{P_{{\rm{Verlust}}}} = 18\,\frac{{\rm{J}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}} \cdot {\rm{s}}}} \cdot 85\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}} = 1{,}5\,\frac{{{\rm{kJ}}}}{{\rm{s}}}\]Berechnung der Zeit, für welche der Speichervorrat reicht:\[\Delta {E_{\rm{i}}} = {P_{{\rm{Verlust}}}} \cdot \Delta t \Leftrightarrow \Delta t = \frac{{\Delta {E_{\rm{i}}}}}{{{P_{{\rm{Verlust}}}}}} \Rightarrow \Delta t = \frac{{3{,}4 \cdot {{10}^5}\,{\rm{J}}}}{{1{,}5\frac{{{\rm{kJ}}}}{{\rm{s}}}}} = 2{,}27 \cdot {10^5}\,{\rm{s}} \approx 63\,{\rm{h}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Wärmelehre

Innere Energie - Wärmekapazität

Übergreifend

Energiespeicherung