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Aufgabe

Vergleich von Duschen und Baden

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Fast \(10\% \) der in einem mittleren Haushalt umgesetzten Energie geht in den Warmwasserverbrauch. Um Energie in diesem Bereich einzusparen wird empfohlen, anstelle eines Vollbades ein Duschbad zu nehmen.

a) Schätze den Energieumsatz bei einem deiner Duschbäder grob ab und vergleiche diesen mit dem Energieumsatz bei einem Wannenbad bei einem Wasservolumen in der Wanne von ca. \(190\,\ell \).

b) Schätze ebenfalls ab, welche Heizleistung der Duschboiler bei deinem Duschbad aufbringen muss.

c) Berechne, wie viele \(75\,\rm{W}\)-Glühlampen du mit einer elektrischen Leistung betreiben könntest, die gleich der Heizleistung des Duschboilers ist.

d) Der Boiler habe einen Wirkungsgrad von \(85\% \). Berechne, wie teuer dein Duschbad ist, wenn man für \(1\,\rm{kWh}\) elektrischer Energie \(0{,}30\,\rm{€} \) bezahlen muss.

Spezifische Wärmekapazität von Wasser: \(4{,}2\cdot 10^3\,\rm{\frac{J}{kg\cdot K}}\)

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Hinweis: Das Folgende ist die Beschreibung einer Lösung des Problems, wie sie uns eingefallen ist. Eigene Ideen zur Lösung sind meist wesentlich lehrreicher.

a) Mit einem \(5\ell\)-Eimer wurde das Duschwasser aufgefangen. Es dauerte ca. \(50\,\rm{s}\) bis der Eimer voll war. In 1 Minute flossen also aus der Dusche ca. \(6\ell\) Wasser. Geht man davon aus, dass der Duschvorgang ca. 6 Minuten dauert, so wurden etwa die Wärmeenergie von \(36\ell\) Wasser "verbraucht". Da die Dichte von Wasser \({\rm{1}}\frac{{{\rm{kg}}}}{\ell }\) ist, mussten \(36\,\rm{kg}\) Wasser erwärmt werden.

Wenn das Leitungswasser etwa die Temperatur von \(10^\circ {\rm{C}}\) hat und es im Boiler auf ca. \(40^\circ {\rm{C}}\) erwärmt wird, so beträgt die hierfür benötigte Energie
\[\Delta {E_{\rm{i}}} = {c_{{\rm{Wasser}}}} \cdot m \cdot \Delta \vartheta  \Rightarrow \Delta {E_{\rm{i}}} = 4{,}2 \cdot {10^3}\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}} \cdot 36\,{\rm{kg}} \cdot 30\,{\rm{K}} = 4{,}5 \cdot {10^6} {\rm{J}}\]

Geht man davon aus, dass für das Wannenbad die gleiche Temperaturerhöhung des Wassers notwendig ist, so braucht man ungefähr \({\frac{{190\ell }}{{36\ell }} \approx 5}\) Mal so viel Energie.

b) Die Heizleistung \(P\) ergibt sich aus der Energie dividiert durch die Zeit:
\[P = \frac{{\Delta {E_{\rm{i}}}}}{{\Delta t}} \Rightarrow P = \frac{{4{,}5 \cdot {{10}^6}\,{\rm{J}}}}{{360\,{\rm{s}}}} = 13\,{\rm{kW}}\]

c) Mit dieser Leistung könnte man ca. \(\frac{{13000\,{\rm{W}}}}{{75\,{\rm{W}}}} \approx 173\) Lampen mit \(75\,\rm{W}\) Leistung betreiben.

d) Der Wirkungsgrad ist das Verhältnis von Heizenergie zu elektrischer Energie:
\[\eta  = \frac{{{E_{{\rm{Heiz}}}}}}{{{E_{{\rm{el}}}}}} \Leftrightarrow {E_{{\rm{el}}}} = \frac{{{E_{{\rm{Heiz}}}}}}{\eta } \Rightarrow {E_{{\rm{el}}}} = \frac{{4{,}5 \cdot {{10}^6}\,{\rm{J}}}}{{0{,}85}} = 5{,}3 \cdot {10^6}\,{\rm{J}}\]
Nun gilt
\[{E_{{\rm{el}}}} = 5{,}3 \cdot {10^6}\,{\rm{J}} = 5{,}3 \cdot {10^3}\,{\rm{kW}} \cdot {\rm{s}} = 5{,}3 \cdot {10^3}\,{\rm{kW}} \cdot \frac{1}{{3600}}{\rm{h}} = 1{,}5\,{\rm{kWh}}\]
womit sich bei einem Preis von \(0{,}30\,\frac{\rm{€}}{{{\rm{kWh}}}}\) Kosten von ca. \(0{,}45\,\rm{€}\) für ein Duschbad ergeben.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Wärmelehre

Innere Energie - Wärmekapazität