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Aufgabe

Schneeschmelze

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Abb. 1 Hochwasser

Oft wird behauptet, dass die Frühjahrshochwasser (z.B. am Rhein) in erster Linie dadurch bedingt sind, dass Regenfälle der Auslöser für eine sehr starke Schneeschmelze sind.

Untersuche diese Behauptung, indem du abschätzt, welche Masse Schnee durch eine bestimmte Masse Regen geschmolzen werden kann. Besorge dir die benötigten Daten aus Tabellen und mache vernünftige Annahmen.

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Wir nutzen für den Regen die Bezeichnungen \({m_{{\rm{R}}}}\); \({\vartheta _{{\rm{R}}}}\); \({c_{{\rm{R}}}} = 4{,}2\frac{{\rm{kJ}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}}\); für den Schnee \({m_{{\rm{S}}}}\); \({\vartheta _{{\rm{S}}}}\); \({c_{{\rm{S}}}} = 2{,}1\frac{{\rm{kJ}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}}\); \({s_{{\rm{S}}}} = 330\frac{{{\rm{kJ}}}}{{{\rm{kg}}}}\) sowie \({\vartheta _{{\rm{M}}}}\) für die Mischungstemperatur.

Nun ist die vom Schnee aufgenommene innere Energie gleich der vom Regen abgegebenen inneren Energie, d.h es gilt
\[\begin{eqnarray}\Delta {E_{{\rm{i,S,auf}}}} &=& \Delta {E_{{\rm{i,R,ab}}}}\\ \Leftrightarrow {c_{{\rm{S}}}} \cdot {m_{{\rm{S}}}} \cdot \left( {0^\circ {\rm{C}} - {\vartheta _{{\rm{S}}}}} \right) + {s_{{\rm{S}}}} \cdot {m_{{\rm{S}}}} + {c_{{\rm{R}}}} \cdot {m_{{\rm{S}}}} \cdot \left( {{\vartheta _{{\rm{M}}}} - 0^\circ {\rm{C}}} \right) &=& {m_{{\rm{R}}}} \cdot {c_{{\rm{R}}}} \cdot \left( {{\vartheta _{{\rm{R}}}} - {\vartheta _{{\rm{M}}}}} \right)\\ \Leftrightarrow {m_{{\rm{S}}}} \cdot \left( {{c_{{\rm{S}}}} \cdot \left( {0^\circ {\rm{C}} - {\vartheta _{{\rm{S}}}}} \right) + {s_{{\rm{S}}}} + {c_{{\rm{R}}}} \cdot \left( {{\vartheta _{{\rm{M}}}} - 0^\circ {\rm{C}}} \right)} \right) &=& {m_{{\rm{R}}}} \cdot {c_{{\rm{R}}}} \cdot \left( {{\vartheta _{{\rm{R}}}} - {\vartheta _{{\rm{M}}}}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{{m_{{\rm{S}}}}}}{{{m_{{\rm{R}}}}}} &=& \frac{{{c_{{\rm{R}}}} \cdot \left( {{\vartheta _{{\rm{R}}}} - {\vartheta _{{\rm{M}}}}} \right)}}{{{c_{{\rm{S}}}} \cdot \left( {0^\circ {\rm{C}} - {\vartheta _{{\rm{S}}}}} \right) + {s_{{\rm{S}}}} + {c_{{\rm{R}}}} \cdot \left( {{\vartheta _{{\rm{M}}}} - 0^\circ {\rm{C}}} \right)}}\end{eqnarray}\]

Um das Verhältnis von Schneemasse und Regenmasse berechnen zu können, muss man nun Annahmen machen. Es ist sicher vernünftig, für die Temperatur des Regens einen Bereich von \(5^\circ {\rm{C}}\) bis \(15^\circ {\rm{C}}\) anzunehmen. Für die Abschätzung gehen wir von ca. \(10^\circ {\rm{C}}\) aus. Mit den Werten aus der Tabelle ergibt sich dann
\[\frac{{{m_{\rm{S}}}}}{{{m_{\rm{R}}}}} = \frac{{4{,}2\frac{{{\rm{kJ}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}} \cdot \left( {10^\circ {\rm{C}} - {\vartheta _{\rm{M}}}} \right)}}{{2{,}1\frac{{{\rm{kJ}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}} \cdot \left( {0^\circ {\rm{C}} - {\vartheta _{\rm{S}}}} \right) + 330\frac{{{\rm{kJ}}}}{{{\rm{kg}}}} + 4{,}2\frac{{{\rm{kJ}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}} \cdot \left( {{\vartheta _{\rm{M}}} - 0^\circ {\rm{C}}} \right)}}\]
Man sieht, dass das Massenverhältnis erst berechenbar ist, wenn man die Mischtemperatur \({{\vartheta _{\rm{M}}}}\) und die (negative) Temperatur \({{\vartheta _{\rm{S}}}}\) des Schnees kennt. Wenn es allerdings nur darum geht eine obere Grenze (einen Höchstwert) für das Verhältnis der Masse des geschmolzenen Schnees und der Regenmasse abzuschätzen, so kann man an Vereinfachungen gehen:

Der Wert für den Quotienten \(\frac{{{m_{\rm{S}}}}}{{{m_{\rm{R}}}}}\) wird möglichst groß, wenn der Zähler des Bruches möglichst groß und dessen Nenner möglichst klein wird; dies wird erreicht, wenn wir annehmen, dass die Mischtemperatur nahe bei \({0^\circ {\rm{C}}}\) liegt. Dann wird nämlich der Zähler möglichst groß und der zweite Term im Nenner möglichst klein.

Nimmt man außerdem an, dass die Ausgangstemperatur des Schnees nicht negativ ist, sondern auch etwa bei \({0^\circ {\rm{C}}}\) liegt, so wird der erste Term im Nenner möglichst klein und damit der Wert des Gesamtbruches möglichst groß. Somit ergibt sich als obere Grenze für den Quotienten \(\frac{{{m_{\rm{S}}}}}{{{m_{\rm{R}}}}}\)
\[\frac{{{m_{\rm{S}}}}}{{{m_{\rm{R}}}}} = \frac{{4{,}2\frac{{{\rm{kJ}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}} \cdot \left( {10^\circ {\rm{C}} - 0^\circ {\rm{C}}} \right)}}{{2,1\frac{{{\rm{kJ}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}} \cdot \left( {0^\circ {\rm{C}} - 0^\circ {\rm{C}}} \right) + 330\frac{{{\rm{kJ}}}}{{{\rm{kg}}}} + 4{,}2\frac{{{\rm{kJ}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}} \cdot \left( {0^\circ {\rm{C}} - 0^\circ {\rm{C}}} \right)}} = \frac{{4,2\frac{{{\rm{kJ}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}} \cdot 10^\circ {\rm{C}}}}{{330\frac{{{\rm{kJ}}}}{{{\rm{kg}}}}}} = 0{,}12 = 12\% \]

Fazit: Bei einer Temperatur des Regens von \({10^\circ {\rm{C}}}\) kann \(1\rm{kg}\) Regen maximal nur \(0{,}12\,\rm{kg}\) Schnee schmelzen. Für die Überschwemmung ist also wohl in erster Linie schon die Menge des gefallenen Regens verantwortlich. Allerdings schmilzt Schnee meist noch zusätzlich durch die der warmen Luft entnommene Wärme.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Wärmelehre

Innere Energie - Wärmekapazität