Ulrike möchte an einem heißen Tag ihren Orangensaft mit Eiswürfeln abkühlen. In ihrem Glas hat Ulrike \(200\,\rm{ml}\), also ca. \(200\,\rm{g}\) Orangensaft von \(20^\circ {\rm{C}}\) befinden. O-Saft hat praktisch eine mit Wasser identische Wärmekapazität von \({c_{{\rm{Saft}}}}= c_{\rm{Wasser}}=4{,}2\,\frac{{\rm{kJ}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}}\). Dazu gibt sie \(25{,}0\,\rm{g}\) Eiswürfel der Temperatur \(0^\circ {\rm{C}}\).
Weitere gegebene Größe: \(s_{\rm{Eis}}=334\,\rm{\frac{kJ}{kg}}\)
a)
Versuche die Aufgabe in Teilschritten zu lösen und zeichne dazu ein entsprechendes Energieflussdiagramm.
b)
Berechne mit Zwischenschritten die sich ergebende Mischtemperatur.
1. Teilschritt: Berechnung der Temperatur \({\vartheta _{\rm{1}}}\) des Orangensafts nach der Umwandlung des Eis (\(0^\circ {\rm{C}}\)) in Wasser (\(0^\circ {\rm{C}}\))\[\begin{eqnarray}\Delta {E_{{\rm{i}}{\rm{,ab}}{\rm{,1}}}} &=& \Delta {E_{{\rm{i}}{\rm{,auf}}{\rm{,1}}}}\\{c_{{\rm{Saft}}}} \cdot {m_{{\rm{Saft}}}} \cdot \Delta \vartheta &=& {m_{{\rm{Eis}}}} \cdot {s_{{\rm{Eis}}}}\\\Delta \vartheta &=& \frac{{{m_{{\rm{Eis}}}} \cdot {s_{{\rm{Eis}}}}}}{{{c_{{\rm{Saft}}}} \cdot {m_{{\rm{Saft}}}}}}\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\Delta \vartheta = \frac{{0{,}0250\,{\rm{kg}} \cdot 334\,\frac{{\rm{kJ}}}{{{\rm{kg}}}}}}{{4{,}2\,\frac{{\rm{kJ}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}} \cdot 0{,}200\,{\rm{kg}}}} = 9{,}9\,{\rm{K}}\]Damit ergibt sich\[{\vartheta _1} = {\vartheta _{{\rm{Saft}}}} - \Delta \vartheta \Rightarrow {\vartheta _1} = 20\, ^\circ {\rm{C}} - 9{,}9\, ^\circ {\rm{C}} = 10{,}1\, ^\circ {\rm{C}}\]Nachdem das Eis vollständig geschmolzen ist und Wasser von \(0^\circ {\rm{C}}\) vorliegt, sind die \(200\,\rm{ml}\) Orangensaft auf die Temperatur \(10{,}1\, ^\circ {\rm{C}}\) abgekühlt.
2. Teilschritt: Berechnung der Temperatur \({\vartheta _{{\rm{Misch}}}}\) des verdünnten Orangensafts\[\begin{eqnarray}\Delta {E_{{\rm{i}}{\rm{,ab}}{\rm{,2}}}} &=& \Delta {E_{{\rm{i}}{\rm{,auf}}{\rm{,2}}}}\\{c_{{\rm{Saft}}}} \cdot {m_{{\rm{Saft}}}} \cdot \left( {{\vartheta _1} - {\vartheta _{{\rm{Misch}}}}} \right) &=& {c_{{\rm{Wasser}}}} \cdot {m_{{\rm{Wasser}}}} \cdot \left( {{\vartheta _{{\rm{Misch}}}} - 0^\circ {\rm{C}}} \right)\\{c_{{\rm{Saft}}}} \cdot {m_{{\rm{Saft}}}} \cdot {\vartheta _1} - {c_{{\rm{Saft}}}} \cdot {m_{{\rm{Saft}}}} \cdot {\vartheta _{{\rm{Misch}}}} &=& {c_{{\rm{Wasser}}}} \cdot {m_{{\rm{Wasser}}}} \cdot {\vartheta _{{\rm{Misch}}}} - \underbrace {{c_{{\rm{Wasser}}}} \cdot {m_{{\rm{Wasser}}}} \cdot 0^\circ {\rm{C}}}_0\\{c_{{\rm{Saft}}}} \cdot {m_{{\rm{Saft}}}} \cdot {\vartheta _1} &=& {c_{{\rm{Wasser}}}} \cdot {m_{{\rm{Wasser}}}} \cdot {\vartheta _{{\rm{Misch}}}} + {c_{{\rm{Saft}}}} \cdot {m_{{\rm{Saft}}}} \cdot {\vartheta _{{\rm{Misch}}}}\\{c_{{\rm{Saft}}}} \cdot {m_{{\rm{Saft}}}} \cdot {\vartheta _1} &=& \left( {{c_{{\rm{Wasser}}}} \cdot {m_{{\rm{Wasser}}}} + {c_{{\rm{Saft}}}} \cdot {m_{{\rm{Saft}}}}} \right) \cdot {\vartheta _{{\rm{Misch}}}}\\{\vartheta _{{\rm{Misch}}}} &=& \frac{{{c_{{\rm{Saft}}}} \cdot {m_{{\rm{Saft}}}} \cdot {\vartheta _1}}}{{{c_{{\rm{Wasser}}}} \cdot {m_{{\rm{Wasser}}}} + {c_{{\rm{Saft}}}} \cdot {m_{{\rm{Saft}}}}}}\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{\vartheta _{{\rm{Misch}}}} = \frac{{4{,}2\,\frac{{\rm{kJ}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}} \cdot 0{,}200\,{\rm{kg}} \cdot 10{,}1\, ^\circ {\rm{C}}}}{{4{,}2\,\frac{{\rm{kJ}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}} \cdot 0{,}0250\,{\rm{kg}} + 4{,}2\,\frac{{\rm{kJ}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}} \cdot 0{,}200\,{\rm{kg}}}} = 9{,}0\, ^\circ {\rm{C}}\]Nach dem Mischvorgang beträgt die Temperatur \(9{,}0\, ^\circ {\rm{C}}\), d.h. in dem Glas befinden sich \(200\,\rm{ml}\) Orangensaft und \(25\rm{ml}\) Wasser bei einer Temperatur von \(9{,}0\, ^\circ {\rm{C}}\).
