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Aufgabe

Nagelziehen

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Ein Körper K der Masse \(3{,}0\,\rm{kg}\) fällt aus der Höhe \(1{,}0\,\rm{m}\) herunter und treibt einen Nagel \(5{,}0\,\rm{cm}\) tief in einen Holzbalken.

a)Berechne den Betrag der mittleren Kraft, die beim Einschlagen des Nagels wirkt.

b)Berechne, um wie viel °C sich der \(3,5\rm{g}\) schwere Eisennagel erwärmt, wenn \(80\% \) der freiwerdenden Energie zur Erwärmung des Nagels beitragen. Rechne mit \({{c_{{\rm{Fe}}}} = 452\,\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}}}\).

 

c)Es werde nun näherungsweise angenommen, dass die Zugkraft, die man braucht um den Nagel wieder herauszuziehen, so groß ist wie die in Teilaufgabe a) berechnete Kraft.
Berechne den Betrag \({F^*}\) der Kraft, die man an einem Stemmeisen mindestens aufwenden muss, wenn man den Nagel ziehen will.

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a) Die potenzielle Energie des Körpers K dient zur Verrichtung von Reibarbeit:
\[\bar F \cdot s = m \cdot g \cdot h \Leftrightarrow \bar F = \frac{{m \cdot g \cdot h}}{s} \Rightarrow \bar F = \frac{{3{,}0\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 1{,}0\,{\rm{m}}}}{{0{,}050\,{\rm{m}}}} = 0{,}59\,{\rm{kN}}\]
Beim Einschlagen wirkt also eine mittlere Kraft von ca. \(0{,}59\,\rm{kN}\)

b) \(80\% \) der ursprünglichen potenziellen Energie werden in innere Energie des Nagels umgewandelt:
\[\Delta {E_{\rm{i}}} = 0{,}80 \cdot \Delta {E_{{\rm{pot}}}} \Leftrightarrow {c_{{\rm{Fe}}}} \cdot {m_{{\rm{Nagel}}}} \cdot \Delta \vartheta  = 0{,}80 \cdot m \cdot g \cdot h \Leftrightarrow \Delta \vartheta  = \frac{{0{,}80 \cdot m \cdot g \cdot h}}{{{c_{{\rm{Fe}}}} \cdot {m_{{\rm{Nagel}}}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[\Delta \vartheta  = \frac{{0{,}80 \cdot 3{,}0\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 1{,}0\,{\rm{m}}}}{{452\,\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}} \cdot 0{,}0035\,{\rm{kg}}}} = 15\,{\rm{K}}\]
Der Nagel erwärmt sich also um ca. \(15\,^\circ {\rm{C}}\).

c) Nach dem Hebelgesetz gilt
\[{F^*} \cdot {a^*} = {F_{{\rm{Nagel}}}} \cdot {a_{{\rm{Nagel}}}} \Leftrightarrow {F^*} = \frac{{{F_{{\rm{Nagel}}}} \cdot {a_{{\rm{Nagel}}}}}}{{{a^*}}} \Rightarrow {F^*} = \frac{{0{,}59 \cdot {{10}^3}\,{\rm{N}} \cdot 5{,}0\,{\rm{cm}}}}{{40{\rm{cm}}}} = 74\,{\rm{N}}\]
Man muss das Stemmeisen also mit ca. \(74\,\rm{N}\) nach unten drücken.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Wärmelehre

Innere Energie - Wärmekapazität