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Aufgabe

Nagelziehen

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Ein Körper K der Masse \(3{,}0\,\rm{kg}\) fällt aus der Höhe \(1{,}0\,\rm{m}\) herunter und treibt einen Nagel \(5{,}0\,\rm{cm}\) tief in einen Holzbalken.

a)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Skizze zur Aufgabe

Berechne den Betrag der mittleren Kraft, die beim Einschlagen des Nagels wirkt.

b)

Berechne, um wie viel °C sich der \(3,5\rm{g}\) schwere Eisennagel erwärmt, wenn \(80\% \) der freiwerdenden Energie zur Erwärmung des Nagels beitragen. Rechne mit \({{c_{{\rm{Fe}}}} = 452\,\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}}}\).

c)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Skizze zu Teil c)

Es werde nun näherungsweise angenommen, dass die Zugkraft, die man braucht um den Nagel wieder herauszuziehen, so groß ist wie die in Teilaufgabe a) berechnete Kraft.
Berechne den Betrag \({F^*}\) der Kraft, die man an einem Stemmeisen mindestens aufwenden muss, wenn man den Nagel ziehen will.

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a)

Die potenzielle Energie des Körpers K dient zur Verrichtung von Reibarbeit:
\[\bar F \cdot s = m \cdot g \cdot h \Leftrightarrow \bar F = \frac{{m \cdot g \cdot h}}{s} \Rightarrow \bar F = \frac{{3{,}0\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 1{,}0\,{\rm{m}}}}{{0{,}050\,{\rm{m}}}} = 0{,}59\,{\rm{kN}}\]
Beim Einschlagen wirkt also eine mittlere Kraft von ca. \(0{,}59\,\rm{kN}\)

b)

\(80\% \) der ursprünglichen potenziellen Energie werden in innere Energie des Nagels umgewandelt:
\[\Delta {E_{\rm{i}}} = 0{,}80 \cdot \Delta {E_{{\rm{pot}}}} \Leftrightarrow {c_{{\rm{Fe}}}} \cdot {m_{{\rm{Nagel}}}} \cdot \Delta \vartheta  = 0{,}80 \cdot m \cdot g \cdot h \Leftrightarrow \Delta \vartheta  = \frac{{0{,}80 \cdot m \cdot g \cdot h}}{{{c_{{\rm{Fe}}}} \cdot {m_{{\rm{Nagel}}}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[\Delta \vartheta  = \frac{{0{,}80 \cdot 3{,}0\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 1{,}0\,{\rm{m}}}}{{452\,\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}} \cdot 0{,}0035\,{\rm{kg}}}} = 15\,{\rm{K}}\]
Der Nagel erwärmt sich also um ca. \(15\,^\circ {\rm{C}}\).

c)

Nach dem Hebelgesetz gilt
\[{F^*} \cdot {a^*} = {F_{{\rm{Nagel}}}} \cdot {a_{{\rm{Nagel}}}} \Leftrightarrow {F^*} = \frac{{{F_{{\rm{Nagel}}}} \cdot {a_{{\rm{Nagel}}}}}}{{{a^*}}} \Rightarrow {F^*} = \frac{{0{,}59 \cdot {{10}^3}\,{\rm{N}} \cdot 5{,}0\,{\rm{cm}}}}{{40{\rm{cm}}}} = 74\,{\rm{N}}\]
Man muss das Stemmeisen also mit ca. \(74\,\rm{N}\) nach unten drücken.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Wärmelehre

Innere Energie - Wärmekapazität