Zur Herstellung von Grog wird \(1{,}0 \, \ell\) Wasser von \({\vartheta _{\rm{W}}} = 70 \, ^\circ \rm{C}\) mit \(0{,}30 \, \ell\) Rum gemischt. Der Rum (\({c_{\rm{R}}} = 2{,}6 \, \frac{{\rm{J}}}{{{\rm{g}} \cdot {\rm{^\circ C}}}}\), \({\rho _{\rm{R}}} = 0{,}80 \, \frac{\rm{g}}{{\rm{cm}^3}}\)) habe die Temperatur \({\vartheta _{\rm{R}}} = 15 \, ^\circ \rm{C}\) und befinde sich in einer Isolierkanne.
a)
Berechne die Mischtemperatur \({\vartheta _{\rm{M}}}\).
b)
Erläutere, in welche Richtung die sich tatsächlich einstellende Mischtemperatur \(\vartheta _{\rm{M}}^*\) von der in Teilaufgabe a) berechneten Mischtemperatur abweicht.
c)
Erläutere, wie der Ansatz von Teilaufgabe a) abzuändern wäre, damit man \(\vartheta _{\rm{M}}^*\) berechnen könnte. Du sollst \(\vartheta _{\rm{M}}^*\) nicht berechnen.
Zuerst muss man die Flüssigkeitsmassen berechnen:\[{m_{\rm{W}}} = {\rho _{\rm{W}}} \cdot {V_{\rm{W}}} \Rightarrow {m_{\rm{W}}} = 1,0\ell \cdot 1,0\frac{{{\rm{kg}}}}{\ell } = 1,0{\rm{kg}} = 1000\rm{g}\]\[{m_{\rm{R}}} = {\rho _{\rm{R}}} \cdot {V_{\rm{R}}} \Rightarrow {m_{\rm{R}}} = 0,30\ell \cdot 0,80\frac{{{\rm{kg}}}}{\ell } = 0,24{\rm{kg}} = 240\rm{g}\]Durch das Mischen von Wasser und Grog wird sich in der Mischung eine Mischtemperatur \({\vartheta _{\rm{M}}}\) einstellen, die unter der des Wassers und über der des Grogs liegt. Nach dem Energieerhaltungssatz muss die von dem kälteren Rum aufgenommene innere Energie gleich der von dem wärmeren Wasser abgegebene innere Energie sein, d.h.\[\begin{eqnarray}\Delta {E_{\rm{W}}} &=& \Delta {E_{\rm{R}}}\\{m_{\rm{W}}} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \Delta {\vartheta _{\rm{W}}} &=& {m_{\rm{R}}} \cdot {c_{\rm{R}}} \cdot \Delta {\vartheta _{\rm{R}}}\\{m_{\rm{W}}} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \left( {{\vartheta _{\rm{W}}} - {\vartheta _{\rm{M}}}} \right) &=& {m_{\rm{R}}} \cdot {c_{\rm{R}}} \cdot \left( {{\vartheta _{\rm{M}}} - {\vartheta _{\rm{R}}}} \right)\end{eqnarray}\]Auflösen dieser Gleichung nach \({\vartheta _{\rm{M}}}\) ergibt nach einigen Umformungsschritten\[{\vartheta _{\rm{M}}} = \frac{{{m_{\rm{W}}} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\vartheta _{\rm{W}}} + {m_{\rm{R}}} \cdot {c_{\rm{R}}} \cdot {\vartheta _{\rm{R}}}}}{{{m_{\rm{W}}} \cdot {c_{\rm{W}}} + {m_{\rm{R}}} \cdot {c_{\rm{R}}}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{\vartheta _{\rm{M}}} = \frac{{1000{\rm{g}} \cdot 4,2\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{g}} \cdot {\rm{^\circ C}}}} \cdot 70^\circ {\rm{C}} + 240{\rm{g}} \cdot 2,6\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{g}} \cdot {\rm{^\circ C}}}} \cdot 15^\circ {\rm{C}}}}{{1000{\rm{g}} \cdot 4,2\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{g}} \cdot {\rm{^\circ C}}}} + 240{\rm{g}} \cdot 2,6\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{g}} \cdot {\rm{^\circ C}}}}}} = 63^\circ {\rm{C}}\]
b)
Die tatsächliche Mischtemperatur \(\vartheta _{\rm{M}}^*\) ist aufgrund der Verluste an die Umgebung und an das Gefäß kleiner als die berechnete Mischtemperatur \({{\vartheta _{\rm{M}}}}\).
c)
Im obigen Ansatz müsste auf der rechten Seite z.B. noch die Energieaufnahme durch das Gefäß addiert werden. Wenn das Gefäß die Temperatur \({\vartheta _{\rm{G}}}\) und die mittlere spezifische Wärmekapazität \({c_{\rm{G}}}\) hat, dann gilt\[\begin{eqnarray}\Delta {E_{\rm{W}}} &=& \Delta {E_{\rm{R}}} + \Delta {E_{\rm{G}}}\\{m_{\rm{W}}} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \Delta {\vartheta _{\rm{W}}} &=& {m_{\rm{R}}} \cdot {c_{\rm{R}}} \cdot \Delta {\vartheta _{\rm{R}}} + {m_{\rm{G}}} \cdot {c_{\rm{G}}} \cdot \Delta {\vartheta _{\rm{G}}}\\{m_{\rm{W}}} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \left( {{\vartheta _{\rm{W}}} - \vartheta _{\rm{M}}^*} \right) &=& {m_{\rm{R}}} \cdot {c_{\rm{R}}} \cdot \left( {\vartheta _{\rm{M}}^* - {\vartheta _{\rm{R}}}} \right) + {m_{\rm{G}}} \cdot {c_{\rm{G}}} \cdot \left( {\vartheta _{\rm{M}}^* - {\vartheta _{\rm{G}}}} \right)\end{eqnarray}\]Bei diesem Ansatz würde sich dann eine geringere Mischtemperatur \(\vartheta _{\rm{M}}^*\) ergeben.
