Aufgabe
Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe
Zu ein Volumen von \(300\,\rm{cm}^3\) Orangensaft von \(30\,^{\circ}\rm{C}\) gibst du \(50\,\rm{g}\) Eis von \(-10\,^{\circ}\rm{C}\).
Wärmekapazität Saft/Wasser: \(c_{\rm{W}}=4{,}2\,\rm{\frac{kJ}{kg\cdot {}^{\circ}\rm{C}}}\) Dichte Saft: \(\rho_{\rm{O}}=1{,}0\,\rm{\frac{g}{cm^3}}\) Wärmekapazität Eis: \(c_{\rm{Eis}}=2{,}1\,\rm{\frac{kJ}{kg\cdot {}^{\circ}\rm{C}}}\) Schmelzwärme Eis: \(s_{\rm{Eis}}=335\,\rm{\frac{kJ}{kg}}\)
Berechne, auf welche Endtemperatur du den Saft im günstigsten Fall abkühlen könntest.
Erläutere, warum in der Praxis von einer höheren Endtemperatur auszugehen ist.
Die folgende Lösung ist sehr formal und erfordert ein Mindestmaß an Algebra-Kenntnissen. Eine etwas "einfachere" Lösung eines ähnlichen Problems findest du bei der Aufgabe "Orangensaft on the rocks".
gegeben: \({{\vartheta _{\rm{O}}} = 30^\circ {\rm{C}}}\); \({{m_{\rm{O}}} = 300\,\rm{cm^3}\cdot 1{,}0\,\rm{\frac{g}{cm^3}}=300\,{\rm{g}}}\); \({{m_{{\rm{Eis}}}} = 50\,{\rm{g}}}\); \({{\vartheta _{{\rm{Eis}}}} = - 10^\circ {\rm{C}}}\).
gesucht: \({\vartheta _{\rm{M}}}\)
Rechnung: \[\begin{eqnarray}\Delta {E_{{\rm{i,ab}}}} &=& \Delta {E_{{\rm{i,auf}}}}\\{c_{\rm{W}}} \cdot {m_{\rm{O}}} \cdot \left( {{\vartheta _{\rm{O}}} - {\vartheta _{\rm{M}}}} \right) &=& {m_{{\rm{Eis}}}} \cdot {c_{{\rm{Eis}}}} \cdot \left( {0^\circ {\rm{C}} - {\vartheta _{{\rm{Eis}}}}} \right) + s \cdot {m_{{\rm{Eis}}}} + {m_{{\rm{Eis}}}} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \left( {{\vartheta _{\rm{M}}} - 0^\circ {\rm{C}}} \right)\\{c_{\rm{W}}} \cdot {m_{\rm{O}}} \cdot {\vartheta _{\rm{O}}} - {c_{\rm{W}}} \cdot {m_{\rm{O}}} \cdot {\vartheta _{\rm{M}}} &=& - {m_{{\rm{Eis}}}} \cdot {c_{{\rm{Eis}}}} \cdot {\vartheta _{{\rm{Eis}}}} + s \cdot {m_{{\rm{Eis}}}} + {m_{{\rm{Eis}}}} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\vartheta _{\rm{M}}}\\{c_{\rm{W}}} \cdot {m_{\rm{O}}} \cdot {\vartheta _{\rm{O}}} + {m_{{\rm{Eis}}}} \cdot {c_{{\rm{Eis}}}} \cdot {\vartheta _{{\rm{Eis}}}} - s \cdot {m_{{\rm{Eis}}}} &=& {m_{{\rm{Eis}}}} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\vartheta _{\rm{M}}} + {c_{\rm{W}}} \cdot {m_{\rm{O}}} \cdot {\vartheta _{\rm{M}}}\\{c_{\rm{W}}} \cdot {m_{\rm{O}}} \cdot {\vartheta _{\rm{O}}} + {m_{{\rm{Eis}}}} \cdot {c_{{\rm{Eis}}}} \cdot {\vartheta _{{\rm{Eis}}}} - s \cdot {m_{{\rm{Eis}}}} &=& \left( {{m_{{\rm{Eis}}}} \cdot {c_{\rm{W}}} + {c_{\rm{W}}} \cdot {m_{\rm{O}}}} \right) \cdot {\vartheta _{\rm{M}}}\\\frac{{{c_{\rm{W}}} \cdot {m_{\rm{O}}} \cdot {\vartheta _{\rm{O}}} + {m_{{\rm{Eis}}}} \cdot {c_{{\rm{Eis}}}} \cdot {\vartheta _{{\rm{Eis}}}} - s \cdot {m_{{\rm{Eis}}}}}}{{{m_{{\rm{Eis}}}} \cdot {c_{\rm{W}}} + {c_{\rm{W}}} \cdot {m_{\rm{O}}}}} &=& {\vartheta _{\rm{M}}}\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{\vartheta _{\rm{M}}} = \frac{{4{,}2\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{g}} \cdot ^\circ {\rm{C}}}} \cdot 300\,{\rm{g}} \cdot 30\,^\circ {\rm{C}} + 50\,{\rm{g}} \cdot 2{,}1\,\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{g}} \cdot ^\circ {\rm{C}}}} \cdot \left( { - 10\,^\circ {\rm{C}}} \right) - 335\,\frac{{\rm{J}}}{{\rm{g}}} \cdot 50\,{\rm{g}}}}{{50\,{\rm{g}} \cdot 4{,}2\,\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{g}} \cdot ^\circ {\rm{C}}}} + 4{,}2\,\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{g}} \cdot ^\circ {\rm{C}}}} \cdot 300\,{\rm{g}}}} = 14\,^\circ {\rm{C}}\]
Da auch Energie zur Abkühlung des ca. \({30\,^\circ {\rm{C}}}\) warmen Glases benötigt wird, ist eine etwas höhere Mischtemperatur zu erwarten.
