Hinweis: Die Idee zu dieser Aufgabe stammt von A. Kellerer.
Wenn beim Klettern das Gelände zu schwierig für freies Abklettern ist, dann seilt man ab. Das Seil wird bis zur Hälfte durch einen Abseilhaken gefädelt. Die Seilenden wirft man nach unten. Der Kletterer ist über einen Abseilachter mit dem Seil verbunden. Die Reibung des Seils im Abseilachter ist so groß, dass der Bergsteiger am Seil kontrolliert nach unten gleitet.
Ein Bergsteiger der Masse \(70\,\rm{kg}\) seilt mit konstanter Geschwindigkeit über eine \(20\,\rm{m}\) hohe Felswand ab. Der Abseilachter hat die Masse \(90\,\rm{g}\).
a)
Berechne die Reibungsarbeit, die das Seil während des Abseilens verrichtet.
b)
Berechne, wie heiß dabei ein Abseilachter aus Aluminium wird, wenn er vorher die Temperatur \(24^\circ {\rm{C}}\) hatte.
Hinweis: Die spezifische Wärmekapazität von Aluminium ist \({{c_{{\rm{Al}}}} = 0{,}869\,\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{g}} \cdot {\rm{K}}}}}\).
c)
Untersuche, ob der Abseilachter beim Abseilen tatsächlich die in Teilaufgabe b) berechnete Temperatur erreicht.
d)
Erläutere, welche Rolle die Abseilgeschwindigkeit bei der Erwärmung des Abseilachters spielt.
Die potentielle Energie des Bergsteigers wird durch Reibungsarbeit in innere Energie umgewandelt. Die Reibungskraft \(\vec F_{\rm{R}}\) ist wegen \(v = \rm{const.}\) betraglich gleich der Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) mit \(F_{\rm{G}}=m \cdot g\) des Bergsteigers. Man erhält\[{W_{\rm{R}}} = {F_{\rm{R}}} \cdot h = m \cdot g \cdot h \Rightarrow {W_{\rm{R}}} = 70\,{\rm{kg}} \cdot 10\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 20\,{\rm{m}} = 14\, {\rm{kJ}}\]
b)
Wenn man annimmt, dass die gesamte Energie auf den Abseilachter übergeht, gilt\[\Delta {E_{\rm{i}}} = {c_{{\rm{Al}}}} \cdot m \cdot \Delta \vartheta \Leftrightarrow \Delta \vartheta = \frac{{\Delta {E_{\rm{i}}}}}{{{c_{{\rm{Al}}}} \cdot m}} \Rightarrow \Delta \vartheta = \frac{{14 \cdot {{10}^3}\,{\rm{J}}}}{{0{,}869\,\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{g}} \cdot {\rm{K}}}} \cdot 90\,\rm{g}}} = 180\,{\rm{K}}\]Bei der Anfangstemperatur von \(24^\circ {\rm{C}}\) ergäbe sich eine Temperatur von \(204^\circ {\rm{C}}\).
c)
Die wirkliche Temperatur des Abseilachters ist selbstverständlich niedriger. Ein Teil der Energie geht auch auf das Seil über. Außerdem gibt der Abseilachter ständig Energie an die Umgebung ab.
d)
Je schneller abgeseilt wird, desto heißer wird der Abseilachter, da nicht so viel Zeit für den Temperaturausgleich mit der Umgebung besteht.
