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Versuche

Längenänderung eines Rohres

In der Physik kommt es sehr oft vor, dass eine Größe z.B. die Längenänderung \(\Delta l\) eines Rohres bei Erwärmung von mehreren Größen abhängt. Besteht nun jeweils ein einfacher proportionaler Zusammenhang, so kannst du diese Proportionalitäten zusammenfassen. Im folgenden entwickelst du so eine Beziehung, mit der du die Längenänderung von Körpern bei Erwärmung errechnen kannst.

1. Versuch: Zusammenhang zwischen Längenänderung \(\Delta l\) und Temperaturerhöhung \(\Delta \vartheta \) bei fester Ausgangslänge \({l_0}=1,00\rm{m}\) des Rohres.

Beobachtung

\(\Delta \vartheta \;{\rm{in}}\;^\circ \rm{C}\) \(0\) \(20\) \(40\) \(60\)
\(\Delta l\;{\rm{in}}\;\rm{mm}\) \(0\) \(0,40\) \(0,80\) \(1,2\)
Aufgabe

Auswertung

Weise die direkte Proportionalität zwischen \(\Delta \vartheta \) und \(\Delta l\) in der Tabelle nach.

Lösung

\(\Delta \vartheta \;{\rm{in}}\;^\circ \rm{C}\) \(0\) \(20\) \(40\) \(60\)
\(\Delta l\;{\rm{in}}\;\rm{mm}\) \(0\) \(0,40\) \(0,80\) \(1,2\)
\(\frac{{\Delta l}}{{\Delta \vartheta }}\;{\rm{in}}\;\frac{{{\rm{mm}}}}{{{\rm{^\circ C}}}}\) - \(0,020\) \(0,020\) \(0,020\)

Aus der Konstanz des Quotienten folgt die direkte Proportionalität \[\Delta l \sim \Delta \vartheta \;{\rm{bei}}\;{l_0} = {\rm{konstant}}\quad(1)\]

2. Versuch (in Gedanken): Zusammenhang zwischen Längenänderung \(\Delta l\) und Ausgangslänge \({l_0}\) bei fester Temperaturerhöhung \(\Delta \vartheta  = 20\;^\circ C\) des Rohres

Rohre der Längen 1,00m; 2,00m und 3,00m werden jeweils um die gleiche Temperaturdifferenz \(\Delta \vartheta  = 20\;^\circ C\) erwärmt. Über die sich ergebenden Längenänderungen kann man sich in einem Gedankenversuch klar werden:

Das Rohr mit der Ausgangslänge 2,00m kann man sich aus zwei Rohren mit jeweils 1,00m Länge zusammengesetzt denken. Nach den Ergebnissen des 1. Versuchs wird sich jedes 1-m-Rohr um 0,40mm ausdehnen. Also wird sich das 2-m-Rohr um 0,80mm ausdehnen. Analoge Überlegung gelten für das 3-m-Rohr.

Aufgabe

Auswertung

Fülle die folgende Tabelle sinnvoll aus.

Weise die direkte Proportionalität zwischen \(l\) und \(\Delta l\) in der Tabelle nach.

\(l_0 \;{\rm{in}}\;\rm{m}\) \(0\) \(1,00\) \(2,00\) \(3,00\)
\(\Delta l\;{\rm{in}}\;\rm{mm}\) ... ... ... ...
... - ... ... ...

Lösung

\(l_0 \;{\rm{in}}\;\rm{m}\) \(0\) \(1,00\) \(2,00\) \(3,00\)
\(\Delta l\;{\rm{in}}\;\rm{mm}\) \(0\) \(0,40\) \(0,80\) \(1,2\)
\(\frac{{\Delta l}}{{l_0 }}\;{\rm{in}}\;\frac{{{\rm{mm}}}}{{{\rm{m}}}}\) - \(0,40\) \(0,40\) \(0,40\)

Aus der Konstanz des Quotienten folgt die direkte Proportionalität\[\Delta l \sim l_0 \;{\rm{bei}}\;\Delta \vartheta = {\rm{konstant}}\quad(2)\]

3. Zusammenfassung der bisherigen Ergebnisse

Aufgabe

Fülle die folgende Tabelle aus und interpretiere das Ergebnis.

\(\Delta \vartheta \cdot {l_0}\;{\rm{in}}\;^\circ {\rm{C}} \cdot {\rm{m}}\) \(0\) ... ... ...
\(\Delta l\;in\;\rm{mm}\) ... ... ... ...
... - ... ... ...

Lösung

\(\Delta \vartheta \cdot {l_0}\;{\rm{in}}\;^\circ {\rm{C}} \cdot {\rm{m}}\) \(0\) \(20\) \(40\) \(60\)
\(\Delta l\;in\;\rm{mm}\) \(0\) \(0,40\) \(0,80\) \(1,2\)
\(\frac{{\Delta l}}{{\Delta \vartheta  \cdot {l_0}}}{\rm{in}}\;\frac{{{\rm{mm}}}}{{^\circ {\rm{C}} \cdot {\rm{m}}}}\) - \(0,020\) \(0,020\) \(0,020\)

Aus der Konstanz des Quotienten folgt die direkte Proportionalität\[\Delta l \sim \Delta \vartheta \cdot {l_0} \quad (3)\]

Ergebnis: Aus \((1)\) und \((2)\) bzw. \((3)\) folgt\[\Delta l \sim {l_0} \cdot \Delta \vartheta \]oder mit der Proportionalitätskonstanten \(\alpha \)\[\Delta l = \alpha \cdot {l_0} \cdot \Delta \vartheta \]Hinweis: \(\alpha = \frac{{\Delta l}}{{{l_0} \cdot \Delta \vartheta }}\) heißt Längenausdehnungskoeffizient. Er wird meist in der Einheit \(\left[ \alpha  \right] = \frac{1}{{^\circ C}}\) angegeben.