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Aufgabe

Spannvorrichtung für Oberleitungen

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Damit die Oberleitung (\({l_0} = 30{\rm{m}}\); Längenausdehnungskoeffizient \({\alpha _{{\rm{Fe}}}} = 12,1 \cdot {10^{ - 6}}\frac{1}{{^\circ {\rm{C}}}}\)) immer gleich weit durchhängt, hat man bei der Bundesbahn die nebenstehend skizzierte Spannvorrichtung gebaut.

Berechne, um wie viel \(^\circ {\rm{C}}\) hat sich die Leitung erwärmt, wenn sich der Körper K um die Höhe \(h = 9,0{\rm{mm}}\) abgesenkt hat. Lasse dabei die Erwärmung der Leitungen in der Spannvorrichtung außer Acht.

 

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Wenn sich der Körper K um \(h=9,0{\rm{mm}}\) abgesenkt hat, so ist die Verlängerung der Leitung \(\Delta l = 2 \cdot h = 18{\rm{mm}}\).

gegeben: \(\Delta l = 18{\rm{mm}} = 18 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{m}}\); \({l_0} = 30{\rm{m}}\); \({\alpha _{{\rm{Cu}}}} = 12,1 \cdot {10^{ - 6}}\frac{1}{{^\circ {\rm{C}}}}\)

gesucht: \(\Delta \vartheta \)

Rechnung:
\[\Delta l = \alpha  \cdot {l_0} \cdot \Delta \vartheta  \Leftrightarrow \Delta \vartheta  = \frac{{\Delta l}}{{\alpha  \cdot {l_0}}} \Rightarrow \Delta \vartheta  = \frac{{18 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}}}}{{12,1 \cdot {{10}^{ - 6}}\frac{1}{{^\circ {\rm{C}}}} \cdot 30{\rm{m}}}} = 50^\circ {\rm{C}}\]

Antwort: Die Leitungen haben sich um ca. \(50^\circ {\rm{C}}\) erwärmt.