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Abb. 1 Heißluftballon mit Gondel
Erläutere, warum das Volumen von Gasballons (meist mit Heliumfüllung) in der Regel kleiner als das Volumen von Heißluftballons ist.
b)
Im Sommer sieht man Heißluftballons meist am Morgen oder am Abend, kaum jedoch zur Mittagszeit.
Gib einen möglichen physikalischen Grund für diese Beobachtung an.
c)
Von einem Heißluftballon sind die folgenden Daten bekannt: Ballonvolumen: \(3000{{\rm{m}}^3}\); Masse von Hülle, Korb und Brenner: \(200{\rm{kg}}\); Maximale Zuladung: \(700{\rm{kg}}\).
Berechne die Dichte der Luft am Startort (\(\vartheta = 15^\circ {\rm{C}}\); \(p = 1000{\rm{hPa}}\)) aus der Dichte der Luft \({\rho _{\rm{0}}} = 1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) bei Normalbedingungen.
Wenn der Ballon die maximale Zuladung hat, möge er am Startort gerade schweben.
Berechne aus dieser Information die Temperatur der Luft im Ballon.
d)
Erläutere, warum der Erwärmung der Luft im Ballon relativ enge Grenzen gesetzt sind.
Der Betrag der resultierenden Kraft auf einen Ballon, bei dem Gewicht von Korb, Hülle und Zuladung vernachlässigt werden, beträgt (vergleiche hierzu die Ballonseite)\[{F_{{\rm{res}}}} = {F_{\rm{A}}} - {F_{\rm{G}}} = {\rho _{{\rm{außen}}}} \cdot V \cdot g - {\rho _{{\rm{innen}}}} \cdot V \cdot g = \left( {{\rho _{{\rm{außen}}}} - {\rho _{{\rm{innen}}}}} \right) \cdot V \cdot g\]Die Dichte von Helium (\({\rho _{{\rm{He}}}} = 0,179\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\)) ist geringer als die von heißer Luft (\({\rho _{{\rm{Heißluft}}}} \approx 0,9\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\)). Um die gleiche resultierende Kraft wie mit Heißluft zu erreichen, reicht beim Heliumballon also ein geringeres Volumen.
b)
Zur Beantwortung dieser Frage hilft wiederum die Formel \({F_{{\rm{res}}}} = \left( {{\rho _{{\rm{außen}}}} - {\rho _{{\rm{innen}}}}} \right) \cdot V \cdot g\) weiter. Bei hohen Außentemperaturen ist \({{\rho _{{\rm{außen}}}}}\) (Dichte der den Ballon umgebenden Luft) geringer als bei niedrigeren Außentemperaturen. Damit ist auch die resultierende Kraft auf den Ballon geringer.
c)
Diejenigen, die mit allgemeinen Rechnungen etwas Schwierigkeiten haben, gehen von \({{\rm{1}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}\) unter Normalbedingungen aus. Die folgende Rechnung ist etwas allgemeiner gehalten. Zur Erinnerung: Bei Normalbedingungen herrscht die Temperatur \({T_0} = 273{\rm{K}} = 0^\circ {\rm{C}}\) und der Druck \({p_0} = 1000{\rm{hPa}}\).
Die Zustandsgrößen im erwärmten Zustand werden ohne Index geschrieben, diejenigen im Normalzustand mit dem Index Null. Die Masse des Gases ist im erwärmten Zustand und im Normalzustand gleich, d.h. es gilt\[\frac{{p \cdot V}}{T} = \frac{{{p_0} \cdot {V_0}}}{{{T_0}}}\]Mit \(\rho = \frac{m}{V} \Leftrightarrow V = \frac{m}{\rho }\) und \({\rho _0} = \frac{m}{{{V_0}}} \Leftrightarrow {V_0} = \frac{m}{{{\rho_0}}}\) ergibt sich dann\[\frac{{p \cdot m}}{{T \cdot \rho }} = \frac{{{p_0} \cdot m}}{{{T_0} \cdot {\rho _0}}} \Leftrightarrow \frac{p}{{T \cdot \rho }} = \frac{{{p_0}}}{{{T_0} \cdot {\rho _0}}} \Leftrightarrow \frac{{T \cdot \rho }}{p} = \frac{{{T_0} \cdot {\rho _0}}}{{{p_0}}} \Leftrightarrow \rho = \frac{p}{T} \cdot \frac{{{T_0} \cdot {\rho _0}}}{{{p_0}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\rho = 1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot \frac{{273{\rm{K}} \cdot 1000{\rm{hPa}}}}{{\left( {273 + 15} \right){\rm{K}} \cdot 1000{\rm{hPa}}}} = 1,22\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]Wenn der Ballon gerade schwebt, so ist der Betrag \({F_{\rm{A}}}\) der Auftriebskraft gleich dem Betrag \({F_{\rm{G}}}\) der gesamten Gewichtskraft aus Ballonhaut, Hülle, Brenner, Zuladung und des heißen Gases im Ballon. Es gilt für den Betrag \({F_{\rm{A}}}\) der Auftriebskraft\[{F_{\rm{A}}} = {\rho _{{\rm{Luft}}}} \cdot V \cdot g \Rightarrow {F_{\rm{A}}} = 1,22\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 3000{{\rm{m}}^{\rm{3}}} \cdot 9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} = 35900{\rm{N}}\] Der Betrag \({F_{\rm{G,Ballon}}}\) der gesamten Gewichtskraft aus Ballonhaut, Hülle, Brenner und Zuladung beträgt\[{F_{{\rm{G,Ballon}}}} = \left( {200{\rm{kg}} + 700{\rm{kg}}} \right) \cdot 9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} = 8800{\rm{N}}\]Damit beträgt der Betrag \(F_{\rm{G,Heißluft}}\) der Gewichtskraft der heißen Luft im Ballon\[F_{\rm{G,Heißluft}} = {F_{\rm{A}}} - {F_{{\rm{G,Ballon}}}} = 35900{\rm{N}} - 8800{\rm{N}} = 27100{\rm{N}}\]Für die Masse \({m _{{\rm{Heißluft}}}}\) der heißen Luft gilt dann wegen \({F_{\rm{G,Heißluft}}} = m \cdot g \Leftrightarrow m = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{g}\)\[{m_{{\rm{Heißluft}}}} = \frac{{{F_{{\rm{G}},Heißluft}}}}{g} \Rightarrow {m_{{\rm{Heißluft}}}} = \frac{{27100{\rm{N}}}}{{9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}} = 2760{\rm{kg}}\]und für die Dichte \({\rho _{{\rm{Heißluft}}}}\) der heißen Luft\[{\rho _{{\rm{Heißluft}}}} = \frac{{{m_{{\rm{Heißluft}}}}}}{V} \Rightarrow {\rho _{{\rm{Heißluft}}}} = \frac{{2760{\rm{kg}}}}{{3000{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 0,92\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\] Die Temperatur \(T\) der heißen Luft Gases kann mit der in a) entwickelten Formel\[\rho = {\rho _0} \cdot \frac{{{T_0} \cdot p}}{{T \cdot {p_0}}} \Leftrightarrow T = {T_0} \cdot \frac{{{\rho _0} \cdot p}}{{\rho \cdot {p_0}}}\]bestimmt werden: \[T = 273{\rm{K}} \cdot \frac{{1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 1000{\rm{hPa}}}}{{0,92\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 1000{\rm{hPa}}}} = 383{\rm{K}} \Rightarrow \vartheta = {\rm{109}}^\circ {\rm{C}}\]
d)
Die Ballonhaut ist aus einem sehr leichten Kunststoff. Würde die Temperatur der heißen Luft im Ballon zu hoch, so würde die Ballonhaut schmelzen. Außerdem würden sehr hohe Lufttemperaturen auch die Mitführung von zusätzlichen Gasflaschen erfordern, die dann wiederum die Zuladung einschränken würden.
