Bei einem zunächst beidseitig offenem, zum Teil mit Quecksilber (\(\rho_{\rm{Hg}}=13,6\frac{\rm{g}}{\rm{cm}^3} \)) gefüllten U-Rohr mit der Querschnittsfläche \(1,00\rm{cm}^2\) wird der linke Schenkel bei der Temperatur \(31,0^\circ {\rm{C}}\) und dem äußeren Luftdruck \(1,00\rm{bar}\) mit einem festsitzenden Gummistopfen luftdicht verschlossen.
a)
Berechne das das Anfangsvolumen der eingeschlossenen Luftmenge, wenn die Höhe \(h_1=12,0\rm{cm}\) beträgt.
Nun wird die Luftmenge im U-Rohr durch Erhöhung der Umgebungstemperatur erwärmt.
b)
Gib an, in welchem Schenkel des U-Rohres das Quecksilber steigt und in welchem es fällt.
c)
Berechne den Druck, der jetzt in der eingeschlossenen Luftmenge herrscht, wenn der Höhenunterschiede der Quecksilbersäulen \(\Delta h=3,00\rm{cm}\) beträgt.
d)
Berechne das Volumen, das die Luftmenge jetzt einnimmt.
e)
Bestimme die Temperatur, auf welche die Luftmenge erwärmt wurde.
Das Volumen \(V_{\rm{Z}}\) eines Zylinders berechnet sich nach der Formel\[{V_{\rm{Z}}} = A \cdot h\]Mit \(A = 1,00{\rm{cm}^2}\) und \(h=12,0\rm{cm}\) erhält man\[{V_{\rm{Z}}} = 1,00{\rm{cm}^2} \cdot 12,0{\rm{cm}} = 12,0{{\rm{cm}}^3}\]
b)
Da sich die eingeschlossene erwärmte Luft ausdehnt, sinkt das Quecksilber auf der linken Seite des U-Rohres und steigt dementsprechend auf der rechten Seite.
c)
Der zusätzliche Druck auf die eingeschlossene Luftmenge entsteht durch die Gewichtskraft der zusätzlichen Quecksilbersäule auf der rechten Seite des U-Rohres. Dieser Druck berechnet sich durch\[\Delta p = \frac{F_{\rm{G}}}{A}= \frac{m \cdot g}{A}= \frac{\rho_{\rm{Hg}} \cdot V \cdot g}{A}= \frac{\rho_{\rm{Hg}} \cdot A \cdot \Delta h \cdot g}{A}= \rho_{\rm{Hg}} \cdot \Delta h \cdot g\]Einsetzen der gegebeben Werte liefert mit \(13,6\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 13,6 \cdot {10^3}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) und \(3,00{\rm{cm}} = 3,00 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{m}}\)\[\Delta p = 13,6 \cdot {10^3}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 3,00 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{m}} \cdot {\rm{9}},{\rm{81}}\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} = 4,00 \cdot {10^3}{\rm{Pa}} = 40,0{\rm{hPa}} = 0,0400{\rm{bar}}\]Damit beträgt der Druck in der eingeschlossenen Luftmenge \(p_2=1,00\rm{bar}+0,04\rm{bar}=1,04\rm{bar}\).
d)
Wenn die Quecksilbersäulen auf der linken und der rechten Seite eine Höhendifferemz von \(\Delta h = 3,00\rm{cm}\) haben, so ist die Quecksilbersäule auf der linken Seite des U-Rohres um \(1,50\rm{cm}\) gegenüber der Gleichgewichtslage gesunken und die auf der rechten Seite dementsprechend um \(1,50\rm{cm}\) gestiegen. Damit beträgt die Höhe der eingeschlossenene Luftmenge nun \(h'=12,0\rm{cm}+1,50\rm{cm}=13,5\rm{cm}\) und das Volumen berechnet sich analog zu Aufgabenteil a) zu \(V'_{\rm{Z}}=13,5{{\rm{cm}}^3}\).
e)
Wir benutzen zur Lösung der Aufgabe das Allgemeine Gasgesetz\[\frac{{{p_1} \cdot {V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{p_2} \cdot {V_2}}}{{{T_2}}}\quad(1)\]Gegeben sind hier \(V_1 = 12,0{{\rm{cm}}^3}\), \(T_1 = \left( {273 + 31} \right){\rm{K}} = 304{\rm{K}}\), \(p_1=1,00\rm{bar}\), \(V_2=13,5{{\rm{cm}}^3}\) und \(p_2=1,04\rm{bar}\), gesucht ist \(T_2\). Löst man Gleichung \((1)\) nach \(T_2\) auf und setzt die gegebenen Werte ein, so ergibt sich\[{T_2} = \frac{{{p_2} \cdot {V_2} \cdot {T_1}}}{{{p_1} \cdot {V_1}}} \Rightarrow {T_2} = \frac{{1,04\rm{bar} \cdot 13,5{{\rm{cm}}^3} \cdot 304{\rm{K}}}}{{1,00\rm{bar} \cdot 12,0{{\rm{cm}}^3}}} = 356{\rm{K}}\]Damit muss die eingeschlossene Luftmenge eine Temperatur von \({\vartheta _2} = \left( {356 - 273} \right)^\circ {\rm{C}} = 83^\circ {\rm{C}}\) besitzen.
