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Aufgabe

Heliumballon

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

In dieser Aufgabe soll ein Heliumballon näher untersucht werden. Im Gegensatz zum Heißluftballon hat der Heliumballon eine geschlossene Hülle mit dem Volumen \({{V_{\rm{H}}} = 1200{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}\). Wie in der Aufgabe über den Heißluftballon ist die Masse von Ballonhülle, Korb, Ballast und Zuladung \(900\rm{kg}\), die Dichte von Luft unter Normalbedigungen\(\rho_{\rm Luft}=1{,}29\,{\rm \frac{kg}{m^3}}\) und die Dichte von Helium \(\rho_{\rm Helium}=0{,}18\,{\rm \frac{kg}{m^3}}\).

a) Berechne das Volumen \({V'}\) des Heliums, das man in den Ballon bei Normalbedingungen (\({{T_0} = 273{\rm{K}}}\); \({{p_0} = 1013{\rm{hPa}}}\)) füllen muss, damit er gerade schwebt.

b) Damit der Ballon nicht nur schwebt sondern aufsteigt, werden ihm bei Normalbedingungen \({{V_{\rm{0}}} = 900{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}\) Helium eingefüllt. Berechne den Betrag \({F^*}\) der resultierende Kraft, die den Ballon nach oben zieht.

c) Nun steigt der zunächst schlaffe Ballon von Teilaufgabe b) hoch. Aufgrund des mit der Höhe abnehmenden Luftdrucks bläht sich die Hülle auf. Berechne die Höhe \(h\), in der das eingefüllte Helium das Ballonvolumen einnimmt. Benutze zur Beantwortung dieser Frage die Daten über eine "Normatmosphäre Luft".

Tipp: Zeichne mit den folgenden Daten ein Diagramm, das \(\frac{p}{T}\) als Funktion der Höhe \(h\) darstellt.

Höhe \(h\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) \(0\) \(2000\) \(4000\) \(6000\) \(8000\) \(10000\) \(12000\)
Druck \(p\;{\rm{in}}\;{\rm{hPa}}\) \(1013\) \(795\) \(616\) \(472\) \(356\) \(264\) \(193\)
Temperatur \(T\;{\rm{in}}\;{\rm{K}}\) \(288,1\) \(275,1\) \(262,1\) \(249,1\) \(236,1\) \(223,1\) \(216,6\)
Dichte \(\rho \;{\rm{in}}\;\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) \(1,23\) \(1,01\) \(0,819\) \(0,660\) \(0,525\) \(0,413\) \(0,311\)

d) Berechne, wie groß in der bei Teilaufgabe c) berechneten Höhe \(h\) der Betrag \({F^{**}}\) der resultierenden Kraft auf den Ballon ist.

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a) Der Betrag der Gewichtskraft der Last beträgt
\[{F_{\rm{L}}} = m \cdot g \Rightarrow {F_{\rm{L}}} = 900{\rm{kg}} \cdot 9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} = 8830{\rm{N}}\]
Die resultierende Kraft \({F_{{\rm{res}}}} = V' \cdot \left( {{\rho _{\rm{a}}} - {\rho _{\rm{i}}}} \right) \cdot g\) muss im Schwebezustand gleich der Kraft \({F_{\rm{L}}}\) sein; somit gilt
\[{F_{\rm{L}}} = {F_{{\rm{res}}}} \Leftrightarrow m \cdot g = V' \cdot \left( {{\rho _{{\rm{Luft}}}} - {\rho _{{\rm{Helium}}}}} \right) \cdot g \Leftrightarrow V' = \frac{{m \cdot g}}{{\left( {{\rho _{{\rm{Luft}}}} - {\rho _{{\rm{Helium}}}}} \right) \cdot g}} = \frac{m}{{{\rho _{{\rm{Luft}}}} - {\rho _{{\rm{Helium}}}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert das gesuchte Volumen \(V'\), welches für den Schwebezustand eingefüllt werden muss.
\[V' = \frac{{900{\rm{kg}}}}{{1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} - 0,18\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}} = 811{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]

b) Zur Berechnung der resultierenden Kraft muss von der Auftriebskraft des Ballons entstehend durch \(V_0=900\,{\rm kg}\) Helium die Gewichtskraft der Last \({F_{\rm{L}}}\) abgezogen werden: \[{F^*} = {V_0} \cdot \left( {{\rho _{{\rm{Luft}}}} - {\rho _{{\rm{Helium}}}}} \right) \cdot g - {F_{\rm{L}}} \Rightarrow {F^*} = 900{{\rm{m}}^{\rm{3}}} \cdot \left( {1,29\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} - 0,18\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}} \right) \cdot 9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} - 8830{\rm{N}} = 970{\rm{N}}\]

c) Der Quotient aus \(p\) und \(T\) lässt sich mit der allgemeinen Gasgleichung berechnen:
\[\frac{{p \cdot {V_{\rm{H}}}}}{T} = \frac{{{p_0} \cdot {V_{\rm{0}}}}}{{{T_0}}} \Leftrightarrow \frac{p}{T} = \frac{{{p_0} \cdot {V_{\rm{0}}}}}{{{T_0} \cdot {V_{\rm{H}}}}} \Rightarrow \frac{p}{T} = \frac{{1013{\rm{hPa}} \cdot 900{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{273{\rm{K}} \cdot 1200{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 2,78\frac{{{\rm{hPa}}}}{{\rm{K}}}\]
Aus der gegebenen Tabelle lässt sich die folgende Tabelle ableiten:

\(h\rm{\;in\;m}\) \(0\) \(2000\) \(4000\) \(6000\) \(8000\) \(10000\) \(12000\)
\(\frac{p}{T}\;{\rm{in}}\;\frac{{{\rm{hPa}}}}{{\rm{K}}}\) \(3,52\) \(2,89\) \(2,35\) \(1,89\) \(1,51\) \(1,18\) \(0,89\)

Aus dem Diagramm liest man etwa eine Höhe von \(2200\rm{m}\) ab.

d) Für die Lösung ist die Formel von Teilaufgabe b) in abgewandelter Form zu benutzen:
\[{F^{**}} = {V_{\rm{H}}} \cdot \left( {{\rho _{{\rm{Luft}}{\rm{,h}}}} - {\rho _{{\rm{Helium}}{\rm{,h}}}}} \right) \cdot g - {F_{\rm{L}}}\]
Die Dichte des Helium in der Höhe \(h\) berechnet man wie folgt: Die Masse des Helium beim Start (bleibt erhalten):
\[{m_{{\rm{Helium}}}} = {V_{\rm{0}}} \cdot {\rho _{{\rm{Helium}}}} \Rightarrow {m_{{\rm{Helium}}}} = 900{{\rm{m}}^{\rm{3}}} \cdot 0,18\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 162{\rm{kg}}\]
Dichte des Heliums in der Höhe \(h\):
\[{\rho _{{\rm{Helium}}{\rm{,h}}}} = \frac{{{m_{{\rm{Helium}}}}}}{{{V_{\rm{H}}}}} \Rightarrow {\rho _{{\rm{Helium}}{\rm{,h}}}} = \frac{{162{\rm{kg}}}}{{1200{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 0,14\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]
Die Dichte der Luft in der Höhe \(h\) kann man aus der Tabelle oder noch besser aus einem Diagramm entnehmen, das mit Hilfe der Tabelle entwickelt wurde:

Aus dem Diagramm entnimmt man eine Luftdichte von ca. \({0,98\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}\). Damit ergibt sich
\[{F^{**}} = 1200{{\rm{m}}^{\rm{3}}} \cdot \left( {0,98\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} - 0,14\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}} \right) \cdot 9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} - 8830{\rm{N}} = 1060{\rm{N}}\]
Man sieht also, dass die nach oben ziehende Kraft sich gegenüber Teilaufgabe b) nicht stark verändert hat.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Wärmelehre

Allgemeines Gasgesetz