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Aufgabe

Gasdichte bei Temperaturänderung

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

a)Erläutere, wie sich die Dichte eines Gases ändert, wenn seine Temperatur bei konstantem Druck erhöht wird.

b)Zeige, dass für die Dichte \(\rho \) und die Temperatur \(T\) einer abgeschlossenen Gasmenge bei konstantem Druck gilt\[\rho  \cdot T = const.\]

 

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a)Aus der Allgemeinen Gasgleichung\[\frac{{{p_1} \cdot {V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{p_2} \cdot {V_2}}}{{{T_2}}}\]erhält man mit \(p_1=p_2=p\) (der Druck soll konstant bleiben)\[\frac{{{V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{V_2}}}{{{T_2}}} \quad(1)\]Wird also die Temperatur größer, muss - damit die Gleichung erhalten bleibt - auch das Volumen größer werden. Da aber die Masse \(m\) des Gases gleich bleibt, wird die Dichte \(\rho = \frac{m}{V}\) kleiner.

b)Aus der Gleichung \((1)\) erhält man durch Kehrwertbildung auf beiden Seiten der Gleichung\[\frac{{{T_1}}}{{{V_1}}} = \frac{{{T_2}}}{{{V_2}}}\quad(1')\]und damit\[{\rho _1} \cdot {T_1} = \frac{m}{{{V_1}}} \cdot {T_1} = m \cdot \frac{{{T_1}}}{{{V_1}}} = m \cdot \frac{{{T_2}}}{{{V_2}}} = \frac{m}{{{V_2}}} \cdot {T_2} = {\rho _2} \cdot {T_2}\]d.h. das Produkt aus Dichte \(\rho\) und Temperatur \(T\) bleibt konstant.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Wärmelehre

Allgemeines Gasgesetz