Eine unten offene zylinderförmige Taucherglocke mit einer Höhe von \(4,00\rm{m}\) wird so weit ins Wasser abgelassen, bis das Wasser \(3,00\rm{m}\) hoch in der Taucherglocke steht. Dabei soll die Luft in der Taucherglocke auf gleicher Temperatur bleiben.
a)
Berechne den Druck im Innern der Taucherglocke, wenn der äußere Luftdruck \(1,00\rm{bar}\) beträgt.
b)
Berechne die Tiefe \(t\), bis zu der die Unterkante der Tauchglocke hinabgelassen wurde.
Wir benutzen zur Lösung der Aufgabe das Allgemeine Gasgesetz\[\frac{{{p_1} \cdot {V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{p_2} \cdot {V_2}}}{{{T_2}}}\quad(1)\]Gegeben ist hier zuerst einmal lediglich \(p_1 = 1,00\rm{bar}\). Da das Wasser in der \(4,00\rm{m}\) hohen Taucherglocke aber \(3,00\rm{m}\) hoch steht, ist \(V_2 = \frac{1}{4} \cdot V_1\). Die Annahme, dass die Temperatur der Luft konstant bleibt, gibt uns weiter \(T_1 = T_2\). Gesucht ist \(p_2\). Löst man Gleichung \((1)\) nach \(p_2\) auf und setzt die gegebenen Werte ein, so ergibt sich\[{p_2} = \frac{{{p_1} \cdot {V_1} \cdot {T_2}}}{{{T_1} \cdot {V_2}}} = \frac{{{p_1} \cdot {V_1}}}{{{V_2}}} \Rightarrow {p_2} = \frac{{1,00{\rm{bar}} \cdot {V_1}}}{{\frac{1}{4} \cdot {V_1}}} = \frac{{1,00{\rm{bar}}}}{{\frac{1}{4}}} = 4,00{\rm{bar}}\]
b)
Wenn der Luftdruck im Inneren der Taucherglocke \(4,00{\rm{bar}}\) beträgt, so muss der Wasserdruck auf der Höhe des Wasserspiegels im Inneren der Taucherglocke ebenfalls \(4,00{\rm{bar}}\) betragen. Diesen Wasserdruck hat man in \(30\rm{m}\) Tiefe, da zu dem hydrostatischen Druck des Wassers mit dem Wert \(3,00{\rm{bar}}\) noch der äußere Luftdruck mit dem Wert \(1,00{\rm{bar}}\) hinzuaddiert werden muss. Damit beträgt die Tiefe, in der sich die Unterkante der Taucherglocke befindet, genau \(t = 30m + 3{\rm{m}} = 33{\rm{m}}\).
