Übergreifend

Allgemeines und Hilfsmittel

Lösen von Gleichungen - Einführung

  • Wie rundet man in der Physik eigentlich korrekt?
  • Wie wertet man eine Messreihe korrekt aus?
  • Wie stellt man eine Formel nach einer unbekannten Größe um?
  • Was ist eigentlich die wissenschaftliche Schreibweise?

Lösen von Gleichungen - Einführung

Einfache Produktgleichungen

Oft tauchen in der Physik Gleichungen des Typs\[a = b \cdot c\]auf. So gilt z.B. für den Zusammenhang zwischen dem zurückgelegten Weg \(s\), der Geschwindigkeit \(v\) und der verstrichenen Zeit \(t\) bei der gleichförmigen Bewegung die Beziehung\[s = v \cdot t\]Gleichungen des obigen Typs sind eine besonders einfache Form einer linearen Gleichung, wir bezeichen sie als einfache Produktgleichung.

Meist sind bei der obigen Gleichung zwei der drei Größen bekannt (z.B. \(b\) und \(c\)) und die dritte Größe (z.B. \(a\)) ist gesucht. Bei Rechenaufgaben musst du sicher nach der gesuchten Größe auflösen können. Das Auswendiglernen von Lösungsformeln solltest du gar nicht erst versuchen. Bei der folgenden Lösung gehen wir davon aus, dass keine der drei Größen den Wert Null annimmt.

In der Animation in Abb. 1 ist das  schrittweise Auflösen einer Produktgleichung der Form \(a = b \cdot c\)  nach den drei in der Gleichung auftretenden Größen dargestellt.

Die Gleichung\[\color{Red}{{a}} = {{b}} \cdot {{c}}\]ist bereits nach \(\color{Red}{{a}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{{a}} = \color{Red}{{b}} \cdot {{c}}\]nach \(\color{Red}{{b}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[\color{Red}{{b}} \cdot {{c}} = {{a}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{c}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{c}}\) im Nenner steht.
\[\frac{\color{Red}{{b}} \cdot {{c}}}{{{c}}} = \frac{{{a}}}{{{c}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{c}}\).\[\color{Red}{{b}} = \frac{{{a}}}{{{c}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{b}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{{a}} = {{b}} \cdot \color{Red}{{c}}\]nach \(\color{Red}{{c}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{{b}} \cdot \color{Red}{{c}} = {{a}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{b}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{b}}\) im Nenner steht.
\[\frac{{{b}} \cdot \color{Red}{{c}}}{{{b}}} = \frac{{{a}}}{{{b}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{b}}\).\[\color{Red}{{c}} = \frac{{{a}}}{{{b}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{c}}\) aufgelöst.
1 Schrittweises Auflösen einer Produktgleichung der Form \(a=b \cdot c\) nach den drei in der Gleichung auftretenden Größen
2 "Lösungsdreieck" als Hilfsmittel zum Auflösen einer einfachen Produktgleichung der Form \(a=b \cdot c\) nach den drei in der Gleichung auftretenden Größen

Hinweis: Gelegentlich wird ein "Lösungsdreieck" vorgeschlagen, mit dem man ganz ohne Algebrakenntnisse das Auflösen nach einer Größe bewältigen kann. Die Animation in Abb. 2 soll dir die Vorgehensweise illustrieren.

Rat: Präge dir die obige, algebraische Vorgehensweise ein. Sie ist in jeder Lage anwendbar. Die "Dreiecksmethode" führt sofort zu falschen Lösungen, wenn die Größen im Dreieck nicht richtig angeordnet sind.

Einfache Quotientengleichungen

Bei der Definition verschiedener Größen in der Physik tauchen weiter Gleichungen des Typs\[a = \frac{b}{c}\]auf. So wird z.B. die Dichte \(\rho\) von Stoffen als Quotient aus der Masse \(m\) und dem Volumen \(V\) eines Körpers aus diesem Stoff  durch die Beziehung\[\rho = \frac{m}{V}\] bestimmt. Gleichungen des obigen Typs sind eine besonders einfache Form einer Bruchgleichung, wir bezeichen sie als einfache Quotientengleichung.

Meist sind bei der obigen Gleichung zwei der drei Größen bekannt (z.B. \(b\) und \(c\)) und die dritte Größe (z.B. \(a\)) ist gesucht. Bei Rechenaufgaben musst du sicher nach der gesuchten Größe auflösen können. Das Auswendiglernen von Lösungsformeln solltest du gar nicht erst versuchen. Bei der folgenden Lösung gehen wir davon aus, dass keine der drei Größen den Wert Null annimmt.

In der Animation in Abb. 3 ist das  schrittweise Auflösen einer Quotientengleichung der Form \(a = \frac{b}{c}\)  nach den drei in der Gleichung auftretenden Größen dargestellt.

Die Gleichung\[\color{Red}{{a}} = \frac{{{b}}}{{{c}}}\]ist bereits nach \(\color{Red}{{a}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{{a}} = \frac{\color{Red}{{b}}}{{{c}}}\]nach \(\color{Red}{{b}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{\color{Red}{{b}}}{{{c}}} = {{a}}\]
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({{c}}\). Schreibe das \({{c}}\) auf der linken Seite der Gleichung direkt als Zähler in den Bruch.\[\frac{\color{Red}{{b}} \cdot {{c}}}{{{c}}} = {{a}} \cdot {{c}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{c}}\).\[\color{Red}{{b}} = {{a}} \cdot {{c}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{b}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{{a}} = \frac{{{b}}}{\color{Red}{{c}}}\]nach \(\color{Red}{{c}}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{{{b}}}{\color{Red}{{c}}} = {{a}}\]
Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche.\[\frac{\color{Red}{{c}}}{{{b}}} = \frac{{{1}}}{{{a}}}\]
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({{b}}\). Schreibe das \({{b}}\) auf beiden Seiten der Gleichung direkt als Zähler in die Brüche.\[\frac{\color{Red}{{c}} \cdot {{b}}}{{{b}}} = \frac{{{b}}}{{{a}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{b}}\).\[\color{Red}{{c}} = \frac{{{b}}}{{{a}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{c}}\) aufgelöst.
3 Schrittweises Auflösen einer Quotientengleichung der Form \(a=\frac{b}{c}\) nach den drei in der Gleichung auftretenden Größen
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