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Grundwissen

Zusammenfassen von Proportionalitäten

Oft kommt es in der Physik vor, dass eine Größe - wir nennen sie \(y\) - proportional zu einer anderen Größe - wir nennen sie \(a\) - ist. Dann schreiben wir\[y \sim a \quad (1)\]Nun kommt es manchmal auch vor, dass die Größe \(y\) zu einer weiteren Größe - wir nennen sie \(b\) - ebenfalls proportional ist. Dann schreiben wir analog\[y \sim b \quad (2)\]Die Mathematik kann nun nachweisen, dass die beiden Proportionalitäten \((1)\) und \((2)\) zu einiger einzigen Proportionalität zusammengefasst werden können. Gilt nämlich
\[\left. \begin{array}{l}y \sim a\;{\rm{falls}}\;b\;{\rm{konstant}}\\y \sim b\;{\rm{falls}}\;a\;{\rm{konstant}}\end{array} \right\} \Rightarrow y \sim a \cdot b\]

Beispiel

Der Preis \(P\) von Mehl sei proportional zur Zahl \(N\) der \(500\,\rm{g}\)-Packungen:\[P \sim N \quad (1)\]d.h. \(1\) Packung koste \(0{,}80\,€ \), dann kosten \(2\) Packungen \(1{,}60\,€ \), \(3\) Packungen \(2{,}40\,€ \) usw.

 

Der Preis \(P\) einer Packung sei proportional zur Masse \(m\) der jeweiligen Packung:\[P \sim m \quad (2)\]d.h. die \(500\,\rm{g}\)-Packung koste \(0{,}80\,€ \), die \(1000\,\rm{g}\)-Packung \(1{,}60\,€ \), die \(2000\,\rm{g}\)-Packung \(3{,}20\,€ \) usw.

 

Die beiden Proportionalitäten \((1)\) und \((2)\) lassen sich nun zu einer einzigen Proportionalität zusammenfassen:\[P \sim N \cdot m\]d.h. geht man von der \(500\,\rm{g}\)-Packung zu \(0{,}80\,€ \) aus, so besagt diese Proportionalität, dass \(5\) Packungen zu je \(2000\,\rm{g}=4 \cdot 500\,\rm{g}\) dann den \(5 \cdot 4 = 20\)-fachen Preis, nämlich \(20 \cdot 0{,}80\,€  = 16{,}00\,€ \) haben.