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Grundwissen

Umgekehrte Proportionalität

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Bei zwei zueinander umgekehrt proportionalen Größen gehört zum Doppelten, Dreifachen, ... n-fachen der Größe \(x\) die Hälfte, ein Drittel, ... ein n-tel der Größe \(y\).
  • Zwei zueinander umgekehrt proportionale Größen sind produktgleich. Das Produkt \(x\cdot y\) nennt man den Proportionalitätsfaktor (Proportionalitätskonstante).
  • Anstelle des Begriffs umgekehrt proportional werden auch die Begriffe antiproportional und indirekt proportional genutzt.

Im Alltag und auch in der Mathematik und der Physik ist oft der Zusammenhang zwischen zwei Größen von Interesse. Neben der direkten Proportionalität findest du häufig auch Fälle, in denen zwei Größen umgekehrt proportional zueinander sind. Dies nennt man umgekehrte Proportionalität. Häufig werden dafür auch die Begriffe antiproportional und indirekt proportional genutzt.

Umgekehrte Proportionalität zweier Größen

Ein einfacher, wenn auch etwas vereinfachter Fall aus dem Alltag ist der folgende: Wenn ein Arbeiter für eine bestimmte Arbeit z.B. 20 Tage braucht, brauchen doppelt so viele Arbeiter nur halb so lange. Als brauchen zwei Arbeiter für diese Arbeit nur 10 Tage.

Wenn wie in Abb. 1 zum Doppelten, Dreifachen, Vierfachen . . . .n-fachen der Größe \(x\) die Hälfte, ein Drittel, ein Viertel, ..., ein n-tel der Größe \(y\) gehört, so sind die beiden Größen umgekehrt proportional zueinander.

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Abb. 1 Nachweis einer umgekehrt proportionalen Zuordnung in der Messwerttabelle

Sind zwei Größen \(x\) und \(y\) umgekehrt proportional zu, so schreibt man:\[y\sim \frac{1}{x}\quad\text{sprich: "y ist umgekehrt proportional zu x" oder einfach "y ist proportional zu 1 durch x"}\]Merkhilfe: Da sich hier eine Größe gerade umgekehrt zur anderen Verhält, ist die eine Größe proportional zum Kehrwert der anderen.

Erkennungsmerkmale der umgekehrten Proportionalität

Bei zwei zueinander umgekehrt proportionalen Größen ergibt das Wertepaar \(\left( 0|0\right)\) inhaltlich keinen Sinn. Nur dann kann eine umgekehrte Proportionalität vorliegen (muss aber nicht!). Bezogen auf das Beispiel: 0 Arbeiter würden für die Arbeit 0 Tage benötigen - das macht natürlich keinen Sinn.

Um genau zu erkennen, ob zwei Größen umgekehrt proportional zueinander sind, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Dabei unterscheidest du, ob die Größen in einer Messreihe bzw. Messwerttabelle gegeben sind oder ob die Werte in einem Diagramm eingetragen sind (Graph).

Feststellen der umgekehrten Proportionalität anhand einer Messreihe bzw. Messwerttabelle

Du erkennst den umgekehrt proportionalen Zusammenhang zweier Größen \(x\) und \(y\) am einfachsten, wenn du das Produkt \(x\cdot y\) zusammengehörender Werte bildest. Sind die beiden Größen umgekehrt proportional zueinander, so sind alle Produkte gleich groß (vgl. Abb. 2). Den Wert des Produktes nennt man den Proportionalitätsfaktor (die Proportionalitätskonstante).

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Abb. 2 Nachweis der umgekehrten Proportionalität mittels Produktgleichheit
Produktgleichheit bei umgekehrter Proportionalität

Bei zwei zueinander umgekehrt proportionalen Größen \(x\) und \(y\) ist der Wert der Produkte \(x\cdot y\) zusammengehöriger Wertepaare immer gleich groß.

Zwei zueinander umgekehrt proportionale Größen sind produktgleich.

Hinweis: Messwerte aus physikalischen Experimenten sind immer mit Fehlern behaftet. Daher sind die Produkte bei einer Messwerttabelle aus einem realen Experiment meist nicht exakt gleich sondern nur sehr ähnlich. Auch hier kannst du davon ausgehen, dass die beiden Größen umgekehrt proportional zueinander sind.

Feststellen der umgekehrten Proportionalität anhand grafischer Darstellung
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Abb. 3 Indirekt proportionale Größen bilden im Diagramm eine Hyperbel

Stellst du die Wertepaare des Beispiels in einem \(x\)-\(y\)-Diagramm dar, so ergibt sich der in Abb. 3 dargestellte Verlauf. Diesen Graph nennt man eine Hyperbel. Aus dem Verlauf des Graphen kannst du auf den ersten Blick nicht feststellen, ob eine umgekehrte Proportionalität vorliegt, da auch Graphen von nicht umgekehrt proportionalen Zusammenhängen ähnlich Aussehen können.

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Abb. 4 Halbgerade einer indirekt proportionalen Zuordnung bei Auftragung von 1/x

Trägst du dagegen bei zwei umgekehrt proportionalen Größen auf der Rechtswertachse anstatt \(x\) den Kehrwert \(\frac{1}{x}\) auf, so erhältst du wieder eine Halbgerade (vgl. Abb. 4).

So kannst du grafisch prüfen, ob zwei Größen umgekehrt proportional zueinander sind: Entsteht bei dieser Auftragung eine Halbgerade, so sind die Größen umgekehrt proportional zueinander. Entsteht keine Halbgerade, so sind die Größen nicht umgekehrt proportional zueinander.

In der grafischen Darstellung entspricht die Steigung der Geraden, die du z.B. mit einem Steigungsdreieck an beliebiger Stelle bestimmen kannst, dem Proportionalitätsfaktor.

Hinweis: Da du nicht durch Null teilen darfst und es inhaltlich auch keinen Sinn ergibt, kann dem \(x\)-Wert Null kein Funktionswert zugeordnet werden. Dies ist in Abb. 4 durch den roten Kringel um den Punkt \(\left(0|0\right)\) gekennzeichnet.

Umgekehrte Proportionalität im Graphen

Ergibt die graphische Darstellung des Zusammenhanges zwischen \(y\) und \(\frac{1}{x}\) eine Halbgerade, so sind die beiden Größen zueinander umgekehrt proportional (antiproportional, indirekt proportional).

Typische umgekehrte Proportionalitäten in der Physik

Im Physikunterricht werden dir eine ganze Reihe von Größen begegnen, die direkt proportional zueinander sind. Hier zwei Beispiele:

  • Die benötigte Zeit \(t\) um eine feste Strecke von z.B. \(300\,\rm{m}\) zurückzulegen ist umgekehrt proportional ist umgekehrt proportional zur Geschwindigkeit \(v\) (siehe Tab. 1 und Abb. 5.1 bzw. 5.2).
Tab. 1 Beispielmesswerte
\(v\) in \(\rm{\frac{m}{s}}\) 1 2 5 10 15 20 25
\(t\) in \(s\) 300 150 60 30 20 15 12
\(v\cdot t\) in \(m\) 300 300 300 300 300 300 300
  • Der Stromfluss \(I\) durch einen ohmschen Widerstand ist bei einer festen Spannung umgekehrt proportional zum Widerstand \(R\).

Der Proportionalitätsfaktor bzw. die Proportionalitätskonstante

Wegen der Produktgleichheit bei zwei zueinander indirekt proportionalen Größen kannst du den Zusammenhang der Größen auch mathematisch mit \[x \cdot y = C\quad \text{bzw.}\quad y = \frac{C}{x}\] beschreiben. Dabei bezeichnet man die Größe \(C\) als den Proportionalitätsfaktor bzw. die Proportionalitätskonstante.

Verständnisaufgaben
Aufgabe

a)Prüfe rechnerisch, ob zwischen den Größen \(x\) und \(y\) bzw. den Größen \(x\) und \(z\) eine umgekehrte Proportionalität vorliegt.

\(x\) 1 2 3 4 5 6 7 8
\(y\) 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
\(z\) 10 5,0 3,33 2,5 2,0 1,67 1,43 1,25

 

b)Bestätige dein Ergebnis aus a) durch grafische Darstellung der Zusammenhänge in einem Diagramm.

Lösung

a)Es muss geprüft werden, ob Produktgleichheit vorliegt.

\(x\) 1 2 3 4 5 6 7 8
\(y\) 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
\(z\) 10 5,0 3,33 2,5 2,0 1,67 1,43 1,25
\(x\cdot y\) 0,5 2 4,5 8 12,5 18 24,5 32
\(x\cdot z\) 10 10 9,99 10 10 10,02 10,01 10

 

Die Produkte von \(x\cdot y\) unterscheiden sich sehr stark, die Größen \(x\) und \(y\) sind also nicht umgekehrt proportional zueinander. Die Produkte \(x\cdot z\) sind hingegen praktisch alle gleich groß. Daher sind \(x\) und\(z\) umgekehrt proportional zueinander.

b)Im Diagramm müssen wie in Abb. 6 auf der Rechtswertachse \(\frac{1}{x}\) und auf der Hochwertachse \(y\) und \(z\) aufgetragen werden. Es zeigt sich, dass \(z\) gegen \(\frac{1}{x}\) aufgetragen eine Halbgerade liefert, die beiden Größen sind also umgekehrt proportional zueinander. Bei \(y\) gegen \(\frac{1}{x}\) ist dies nicht der Fall.

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Abb. 6 Grafische Darstellung der Zusammenhänge