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Grundwissen

Potenzschreibweise

In den Naturwissenschaften ist die Darstellung von Zahlen mittels Zehnerpotenzen üblich:\[\underbrace {1{,}39}_{\scriptstyle{\rm{Zahl}}\;{\rm{zwischen}}\atop\scriptstyle{\rm{1}}\;{\rm{und}}\;{\rm{9}}{\rm{,999}}...} \cdot \underbrace {{{10}^2}}_{{\rm{Zehnerpotenz}}}\]Diese Darstellung hat für den Physikunterricht zwei Vorteile:

  • Sehr große und sehr kleine Zahlen können übersichtlich dargestellt werden.
  • Die Berücksichtigung der Zahl der gültigen Stellen (g.Z.) ist bequem und unmissverständlich möglich.
Festlegungen Beispiele - Regel

\(1 = {10^0}\)

Deka: \(10 = {10^1}\)

Hekto: \(100 = {10^2}\)

Kilo: \(1000 = {10^3}\)

Mega: \(1000000 = {10^6}\)

Dezi: \(\frac{1}{{10}} = {10^{ - 1}}\)

Zenti: \(\frac{1}{{100}} = {10^{ - 2}}\)

Milli: \(\frac{1}{{1000}} = {10^{ - 3}}\)

Mikro: \(\frac{1}{{1000000}} = {10^{ - 6}}\)

\[{10^2} \cdot {10^3} = {10^{2 + 3}} = {10^5}\]

\[{10^4} \cdot {10^{ - 2}} =  10^{4+(-2)}=10^2\]

Hinweise

  • Wenn mit dem Taschenrechner Zehnerpotenzen verarbeitet werden sollen, ist es ratsam die wissenschaftliche Notation SCI zu verwenden. Konsultiere dazu die Betriebsanleitung des Rechners.
  • Die Begriffe Deka, Zenti usw. werden als Präfixe bezeichnet. Eine noch etwas umfangreichere Darstellung der Präfixe findet sich im Grundwissen (vgl. Link am Ende des Artikels).
Regel für die Multiplikation von Zehnerpotenzen

für Zehnerpotenzen gilt

\[{10^{\rm{n}}} \cdot {10^{\rm{m}}} = {10^{{\rm{n + m}}}}\quad {\rm{mit}}\quad {\rm{n}}{\rm{,m}} \in {\rm Z}\]

Allgemein gilt

\[{a^{\rm{n}}} \cdot {a^{\rm{m}}} = {a^{{\rm{n + m}}}}\quad {\rm{mit}}\quad {\rm{n}}{\rm{,m}} \in {\rm Z}\]

Regel für die Division von Zehnerpotenzen

für Zehnerpotenzen gilt

\[{10^{\rm{n}}} : {10^{\rm{m}}} = {10^{{\rm{n - m}}}}\quad {\rm{mit}}\quad {\rm{n}}{\rm{,m}} \in {\rm Z}\]

Allgemein gilt

\[{a^{\rm{n}}} : {a^{\rm{m}}} = {a^{{\rm{n - m}}}}\quad {\rm{mit}}\quad {\rm{n}}{\rm{,m}} \in {\rm Z}\]

Aufgabe

Schreibe das Ergebnis mit Hilfe von Zehnerpotenzen. Achte darauf, dass die Zahl der gültigen Stellen erhalten bleibt.

\(10^2 \cdot 10^5 =\)

Lösung

\(10^2 \cdot 10^5 = 10^7\)

\(\frac{{{{10}^3} \cdot {{10}^{ - 4}}}}{{{{10}^2}}} = \)

Lösung

\(\frac{{{{10}^3} \cdot {{10}^{ - 4}}}}{{{{10}^2}}} = 10^{-3}\)

\(635000 = \)

Lösung

\(635000 = 6,35000 \cdot 10^5\)

\(0,00000635 = \)

Lösung

\(0,00000635 = 6,35\cdot 10^{-6}\)

\(0,000002 \cdot 0,030 = \)

Lösung

\(0,000002 \cdot 0,030 = 2 \cdot 10^{-6} \cdot 3,0 \cdot 10^{-2} = 6 \cdot 10^{-8}\)

\(\frac{{0,002 \cdot 1{0^5} \cdot {{10}^{ - 4}}}}{{20 \cdot {{10}^3}}} = \)

Lösung

\(\frac{{0,002\cdot{{10}^5}\cdot{{10}^{ - 4}}}}{{20\cdot{{10}^3}}} = \frac{{2 \cdot {{10}^{ - 3}}\cdot{{10}^5}\cdot{{10}^{ - 4}}}}{{2,0 \cdot {{10}^1}\cdot{{10}^3}}} = \frac{{2 \cdot {{10}^{ - 2}}}}{{2,0 \cdot {{10}^4}}} = 1 \cdot 1{0^{ - 6}} \)

\(\frac{{100 \cdot 1{0^{ - 4}} \cdot {{10}^3} \cdot 2000}}{{0,20 \cdot {{10}^3}}} = \)

Lösung

\(\frac{{100 \cdot 1{0^{ - 4}} \cdot {{10}^3} \cdot 2000}}{{0,20 \cdot {{10}^3}}} = \frac{{1,00 \cdot 1{0^2} \cdot 1{0^{ - 4}} \cdot {{10}^3} \cdot 2,000 \cdot {{10}^3}}}{{2,0 \cdot {{10}^{ - 1}} \cdot {{10}^3}}} = \frac{{2,00 \cdot {{10}^4}}}{{2,0 \cdot {{10}^2}}} = 1,0 \cdot {10^2}\)