Lösen von Gleichungen - Fortführung

Abb. 1 Erklärvideo Formeln umstellen

Produktgleichungen

Wiederholt tauchen in der Physik Gleichungen des Typs\[a \cdot b = c \cdot d\]So lautet z.B. beim Hebel die Beziehung zwischen den Hebelarmen \(a_1\) und \(a_2\) sowie den Beträgen \(F_1\) und \(F_2\) der angreifenden Kräfte\[a_1 \cdot F_1 = a_2 \cdot F_2\]Man bezeichnet solche Gleichungen als Produktgleichungen.

Meist sind bei der obigen Gleichung drei Größen bekannt (z.B. \(b\), \(c\) und \(d\)) und die vierte Größe (z.B. \(a\)) ist gesucht. Bei Rechenaufgaben musst du sicher nach der gesuchten Größe auflösen können. Das Auswendiglernen von Lösungsformeln solltest du gar nicht erst versuchen.

In der Animation in Abb. 1 ist das schrittweise Auflösen einer Produktgleichung der Form \(a \cdot b = c \cdot d\) nach den vier in der Gleichung auftretenden Größen dargestellt.

Auflösen von\[{{a}} \cdot {{b}} = {{c}} \cdot {{d}}\]nach ...

Um die Gleichung\[\color{Red}{{a}} \cdot {{b}} = {{c}} \cdot {{d}}\]nach \(\color{Red}{{a}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{b}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{b}}\) im Nenner steht.
\[\frac{\color{Red}{{a}} \cdot {{b}}}{{{b}}} = \frac{{{c}} \cdot {{d}}}{{{b}}}\]

Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{b}}\).\[\color{Red}{{a}} = \frac{{{c}} \cdot {{d}}}{{{b}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{a}}\) aufgelöst.

Um die Gleichung\[{{a}} \cdot \color{Red}{{b}} = {{c}} \cdot {{d}}\]nach \(\color{Red}{{b}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{a}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{b}}\) im Nenner steht.
\[\frac{{{a}} \cdot \color{Red}{{b}}}{{{a}}} = \frac{{{c}} \cdot {{d}}}{{{a}}}\]

Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{a}}\).\[\color{Red}{{b}} = \frac{{{c}} \cdot {{d}}}{{{a}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{b}}\) aufgelöst.

Um die Gleichung\[{{a}} \cdot {{b}} = \color{Red}{{c}} \cdot {{d}}\]nach \(\color{Red}{{c}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:

Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[\color{Red}{{c}} \cdot {{d}} = {{a}} \cdot {{b}}\]

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{d}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{d}}\) im Nenner steht.
\[\frac{\color{Red}{{c}} \cdot {{d}}}{{{d}}} = \frac{{{a}} \cdot {{b}}}{{{d}}}\]

Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{d}}\).\[\color{Red}{{c}} = \frac{{{a}} \cdot {{b}}}{{{d}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{c}}\) aufgelöst.

Um die Gleichung\[{{a}} \cdot {{b}} = {{c}} \cdot \color{Red}{{d}}\]nach \(\color{Red}{{d}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:

Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{{c}} \cdot \color{Red}{{d}} = {{a}} \cdot {{b}}\]

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{c}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{c}}\) im Nenner steht.
\[\frac{{{c}} \cdot \color{Red}{{d}}}{{{c}}} = \frac{{{a}} \cdot {{b}}}{{{c}}}\]

Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{c}}\).\[\color{Red}{{d}} = \frac{{{a}} \cdot {{b}}}{{{c}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{d}}\) aufgelöst.

Abb. 2 Schrittweises Auflösen einer Produktgleichung der Form \(a \cdot b=c \cdot d\) nach den vier in der Gleichung auftretenden Größen

Quotienten- oder Verhältnisgleichungen

Wiederholt tauchen in der Physik Gleichungen des Typs\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\]So hat z.B. auch bei der Lochkamera die Beziehung zwischen Bildgröße \(B\), Gegenstandsgröße \(G\), Bildweite \(b\) und Gegenstandsweite \(g\) das folgende Aussehen:\[\frac{B}{G} = \frac{b}{g}\]Man bezeichnet Gleichungen, bei denen die Variablen auch im Nenner eines Bruches auftreten können als Bruchgleichungen (zur Erinnerung: den Ausdruck oberhalb des Bruchstrichs bezeichnet man als Zähler, den unterhalb des Bruchstrichs als Nenner). Die oben dargestellten Gleichungen sind besonders einfache Typen von Bruchgleichungen, sogenannten Quotienten- oder Verhältnisgleichungen.

In der Physik besteht kaum die Gefahr, dass die Nenner bei obigen Brüchen zu Null werden, also brauchen wir uns über die Definitionsmenge keine Gedanken machen.

In der Animation in Abb. 2 ist das schrittweise Auflösen einer Quotientengleichung der Form \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) nach den vier in der Gleichung auftretenden Größen dargestellt.

Auflösen von\[\frac{{{a}}}{{{b}}} = \frac{{{c}}}{{{d}}}\]nach ...

Um die Gleichung\[\frac{\color{Red}{{a}}}{{{b}}} = \frac{{{c}}}{{{d}}}\]nach \(\color{Red}{{a}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({{b}}\). Schreibe das \({{b}}\) auf beiden Seiten der Gleichung direkt als Zähler in die Brüche.\[\frac{\color{Red}{{a}} \cdot {{b}}}{{{b}}} = \frac{{{c}} \cdot {{b}}}{{{d}}}\]

Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{b}}\).\[\color{Red}{{a}} = \frac{{{c}} \cdot {{b}}}{{{d}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{a}}\) aufgelöst.

Um die Gleichung\[\frac{{{a}}}{\color{Red}{{b}}} = \frac{{{c}}}{{{d}}}\]nach \(\color{Red}{{b}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:

Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche.\[\frac{\color{Red}{{b}}}{{{a}}} = \frac{{{d}}}{{{c}}}\]

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({{a}}\). Schreibe das \({{a}}\) auf beiden Seiten der Gleichung direkt als Zähler in die Brüche.\[\frac{\color{Red}{{b}} \cdot {{a}}}{{{a}}} = \frac{{{d}} \cdot {{a}}}{{{c}}}\]

Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{a}}\).\[\color{Red}{{b}} = \frac{{{d}} \cdot {{a}}}{{{c}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{b}}\) aufgelöst.

Um die Gleichung\[\frac{{{a}}}{{{b}}} = \frac{\color{Red}{{c}}}{{{d}}}\]nach \(\color{Red}{{c}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:

Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{\color{Red}{{c}}}{{{d}}} = \frac{{{a}}}{{{b}}}\]

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({{d}}\). Schreibe das \({{d}}\) auf beiden Seiten der Gleichung direkt als Zähler in die Brüche.\[\frac{\color{Red}{{c}} \cdot {{d}}}{{{d}}} = \frac{{{a}} \cdot {{d}}}{{{b}}}\]

Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{d}}\).\[\color{Red}{{c}} = \frac{{{a}} \cdot {{d}}}{{{b}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{c}}\) aufgelöst.

Um die Gleichung\[\frac{{{a}}}{{{b}}} = \frac{{{c}}}{\color{Red}{{d}}}\]nach \(\color{Red}{{d}}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:

Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{{{c}}}{\color{Red}{{d}}} = \frac{{{a}}}{{{b}}}\]

Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche.\[\frac{\color{Red}{{d}}}{{{c}}} = \frac{{{b}}}{{{a}}}\]

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({{c}}\). Schreibe das \({{c}}\) auf beiden Seiten der Gleichung direkt als Zähler in die Brüche.\[\frac{\color{Red}{{d}} \cdot {{c}}}{{{c}}} = \frac{{{b}} \cdot {{c}}}{{{a}}}\]

Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{c}}\).\[\color{Red}{{d}} = \frac{{{b}} \cdot {{c}}}{{{a}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{d}}\) aufgelöst.

Abb. 3 Schrittweises Auflösen einer Quotientengleichung der Form \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) nach den vier in der Gleichung auftretenden Größen

Stammbruchgleichungen

Wiederholt tauchen in der Physik Gleichungen des Typs\[\frac{1}{{{a}}} = \frac{1}{{{b}}} + \frac{1}{{{c}}}\]So lautet z.B. bei der Linsenabbildung der Zusammenhang zwischen Brennweite \(f\), Bildweite \(b\) und Gegenstandsweite \(g\)\[\frac{1}{{{f}}} = \frac{1}{{{b}}} + \frac{1}{{{g}}}\]Man bezeichnet Gleichungen, bei denen die Variablen auch im Nenner eines Bruches auftreten können als Bruchgleichungen (zur Erinnerung: den Ausdruck oberhalb des Bruchstrichs bezeichnet man als Zähler, den unterhalb des Bruchstrichs als Nenner). Die oben dargestellten Gleichungen sind besonders einfache Typen von Bruchgleichungen, sogenannte Stammbruchgleichungen.

In der Physik besteht kaum die Gefahr, dass die Nenner bei obigen Brüchen zu Null werden, also brauchen wir uns über die Definitionsmenge keine Gedanken machen.

Meist sind bei der obigen Gleichung zwei Größen bekannt (z.B. \(b\) und \(c\)) und die dritte Größe (z.B. \(a\)) ist gesucht. Bei Rechenaufgaben musst du sicher nach der gesuchten Größe auflösen können. Das Auswendiglernen von Lösungsformeln solltest du gar nicht erst versuchen.

In der Animation in Abb. 3 ist das schrittweise Auflösen einer Stammbruchgleichung der Form \(\frac{1}{{{a}}} = \frac{1}{{{b}}} + \frac{1}{{{c}}}\) nach den drei in der Gleichung auftretenden Größen dargestellt.

Auflösen von\[\frac{1}{{{a}}} = \frac{1}{{{b}}} + \frac{1}{{{c}}}\]nach ...

Um die Gleichung\[\frac{1}{\color{Red}{{a}}} = \frac{1}{{{b}}} + \frac{1}{{{c}}}\]nach \(\color{Red}{{a}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:

Addiere die Brüche auf der rechten Seite der Gleichung, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und die Zähler addierst.\[\frac{1}{\color{Red}{{a}}} = \frac{{{c}}}{{{b}} \cdot {{c}}} + \frac{{{b}}}{{{c}}\cdot {{b}}} = \frac{{{c}}+{{b}}}{{{b}}\cdot {{c}}}\]

Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche.\[\color{Red}{{a}} = \frac{{{b}} \cdot {{c}}}{{{c}}+{{b}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{a}}\) aufgelöst.

Um die Gleichung\[\frac{1}{{{a}}} = \frac{1}{\color{Red}{{b}}} + \frac{1}{{{c}}}\]nach \(\color{Red}{{b}}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:

Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{1}{\color{Red}{{b}}} + \frac{1}{{{c}}} = \frac{1}{{{a}}}\]

Subtrahiere auf beiden Seiten der Gleichung \(\frac{1}{{{c}}}\).\[\frac{1}{\color{Red}{{b}}} = \frac{1}{{{a}}} - \frac{1}{{{c}}}\]

Subtrahiere die Brüche auf der rechten Seite der Gleichung, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und die Zähler subtrahierst.\[\frac{1}{\color{Red}{{b}}} = \frac{{{c}}}{{{a}} \cdot {{c}}} - \frac{{{a}}}{{{c}}\cdot {{a}}} = \frac{{{c}} - {{a}}}{{{a}}\cdot {{c}}}\]

Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche.\[\color{Red}{{b}} = \frac{{{a}} \cdot {{c}}}{{{c}} - {{a}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{b}}\) aufgelöst.

Um die Gleichung\[\frac{1}{{{a}}} = \frac{1}{{{b}}} + \frac{1}{\color{Red}{{c}}}\]nach \(\color{Red}{{c}}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:

Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{1}{{{b}}} + \frac{1}{\color{Red}{{c}}} = \frac{1}{{{a}}}\]

Subtrahiere auf beiden Seiten der Gleichung \(\frac{1}{{{b}}}\).\[\frac{1}{\color{Red}{{c}}} = \frac{1}{{{a}}} - \frac{1}{{{b}}}\]

Subtrahiere die Brüche auf der rechten Seite der Gleichung, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und die Zähler subtrahierst.\[\frac{1}{\color{Red}{{c}}} = \frac{{{b}}}{{{a}} \cdot {{b}}} - \frac{{{a}}}{{{b}}\cdot {{a}}} = \frac{{{b}} - {{a}}}{{{a}}\cdot {{b}}}\]

Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche.\[\color{Red}{{c}} = \frac{{{a}} \cdot {{b}}}{{{b}} - {{a}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{c}}\) aufgelöst.

Abb. 4 Schrittweises Auflösen einer Stammbruchgleichung der Form \(\frac{1}{{{a}}} = \frac{1}{{{b}}} + \frac{1}{{{c}}}\) nach den drei in der Gleichung auftretenden Größen

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Allgemeines und Hilfsmittel